テンソル積での(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)wの変形

質問

Rを環としV,Wを左R加群とする。

T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,,ry)-r(x,y)}
と定義し,

V(×)W:={{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)};(v,w)∈V×W}をR上のテンソル積という。

{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)}をv(×)wと書き,(v,w)のテンソルという。

定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)

が成り立つとあったのですが

(v_1+v_2)(×)w∈V(×)Wを採ると,
(v_1+v_2)(×)w={(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}と書け、
∀(x,y)∈{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}をとると
(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)
=(t+v_1+v_2,s+w)から

(t+v_1,s+w)+(t'+v_2,s'+w)の形
({(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1,w) (mod
T)}+{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_2,w) (mod T)}の元)

というふうにやっていくのかと思いましたら
「(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)」
が既に間違いなようです。

∀(x,y)∈{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}をとると
からどのようにして

(x,y)∈{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1,w) (mod T)}+{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_2,w) (mod T)}
が示せますでしょうか?

回答No.1

ojisan7

>(t,s)+(v_1+v_2,w)=(t+v_1+v_2,s+w)から・・・

これは成り立ちますか？いいかえれば、
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)
という性質が成り立つかどうかということです。
このことは保証されていませんね。組(x,y)はふつうのベクトルではありませんから。

大切なことは、
(x_1,y)≡(v_1,w)かつ、(x_2,y)≡(v_2,w)(modT)⇒(x_1+x_2,y)≡(v_1+v_2,w)(modT)
が成り立つということです。これはご自分で証明して下さい。
次に考えることは、
(x_1,y)≡(v_1,w)かつ、(x_2,y)≡(v_2,w)(modT)となる任意のx_1,x_2∈V,y∈Wに対して、Tの定義より、
(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y)∈Tですから、
(x_1+x_2,y)≡(x_1,y)+(x_2,y)(modT)
したがって、テンソルの定義より
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
となります。

お礼

ありがとうございます。

>>(t,s)+(v_1+v_2,w)=(t+v_1+v_2,s+w)から・・・
> これは成り立ちますか？いいかえれば、
> (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)
> という性質が成り立つかどうかということです。
> このことは保証されていませんね。組(x,y)はふつうのベクトルではありませんから。

組だったのですか、、知りませんでした。

> 大切なことは、
> (x_1,y)≡(v_1,w)かつ、(x_2,y)≡(v_2,w)(modT)⇒(x_1+x_2,y)≡(v_1+v_2,w)(modT)
> が成り立つということです。これはご自分で証明して下さい。

(x_1,y)≡(v_1,w) (mod T)より
(x_1,y)-(v_1,w)∈T,
(x_2,y)≡(v_2,w)(modT)より
(x_2,y)-(v_2,w)∈T

よってそれぞれ
(x_1,y)-(v_1,w)=a_1(x_1+x_2,y)-b_1(x_1,y)-c_1(x_2,y)+d_1(x,y_1+y_2)-e_1(x,y_1)-f_1(x,y_2)+g_1(rx,y)-h_1r(x,y)+j_1(x,,ry)-k_1r(x,y)…(1).
(x_2,y)-(v_2,w)=a_2(x_1+x_2,y)-b_2(x_1,y)-c_2(x_2,y)+d_2(x,y_1+y_2)-e_2(x,y_1)-f_2(x,y_2)+g_2(rx,y)-h_2r(x,y)+j_2(x,,ry)-k_2r(x,y)…(2).
(但し,a_1,b_1_c_1,d_1,e_1,f_1,g_1,h_1,h_1,j_1,k_1,a_2,b_2_c_2,d_2,e_2,f_2,g_2,h_2,h_2,j_2,k_2∈R)
と言う風に一次結合で表せる。

でこれから
(x_1+x_2,y)-(v_1+v_2,w)が(1)や(2)のように表せなければならないんですよね。

これからどうにもできません。どうすればいいのでしょうか?