多変数関数の上限と下限

質問

次の
F(x,y,z)=2x^2+2y^2+z^2+2xy-4xz-4yz
という２次の３変数関数について、
F(x,y,z)/(x^2+y^2+z^2) ((x,y,z)≠(0,0,0)) -----------(1)
の上限、下限を求めたいのですが、途中からわからなくなってしまい、投稿いたしました。

まず、
F(x,y,z)=(x y z)A(t(x y z))
というように、行列表示にしました。ただし、
　 |2 1 -2|
A= |1 2 -2|
　 |-2 -2 1|
です。ここで、Aは実対称行列であり、直行行列Pを用いて対角化しました。Aの固有値はλ=1,-1,5ですので、F(x,y,z)を標準化し、
G(u,v,w)=-u^2+v^2+5w^2
という形にしました。また、(1)式の分母も、u^2+v^2+w^2という形に変換できると思いますので、(1)式は
G(u,v,w)/(u^2+v^2+w^2) ((u,v,w)≠(0,0,0)) -----------(2)
という(2)の上限、下限を求めればよいとなると思います。
上記のとこまで変換できたのですが、肝心の上限下限をもとめることができません。どなたかご教授していただけないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan

ど～でもいいけど, G(u, v, w) は間違ってるよね.
G(u, v, w) = u^2-v^2+5w^2 か?
さておき
-u^2-v^2-w^2 ≦ G(u, v, w) ≦ 5u^2+5v^2+5w^2
はほぼ自明だと思うんだがなぁ.

お礼

ご回答ありがとうございます。間違いのご指摘ありがとうございます。
-u^2-v^2-w^2 ≦ G(u, v, w) ≦ 5u^2+5v^2+5w^2
というのは自明なのですか？調べてみます。ありがとうございます。

回答No.2

info22

ヒント
参考URLにある三次元の極座標の球座標(r,θ,φ)変換
x=r sinθcosφ
y=r sinθsinφ
z=r cosθ
(0≦θ≦2π,-π≦θ＜π,0＜r＜∞)
をしてみてください。
評価関数はrが消えて、f(θ,φ)の関数となります。
最小値-1,最大値5が出てきます。

まず、やってみてください。
分からなければ、やった解答の経過の式を補足に書いて、分からない箇所を補足質問して下さい。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB

お礼

遅くなりましたが、ご回答ありがとうございます。
球座標に変換して考えればよいのですね。的確なアドバイスを頂まして、ありがとうございます。

回答No.1

arrysthmia

なぜ、(2) まで行って、その後で悩むのでしょうか？

(u,v,w) を、更に、球面座標で
u = r (cosθ) (cosφ)
v = r (cosθ) (sinφ)
w = r (sinθ)
と、変数変換してみましょう。

お礼

返事のほうが遅くなりまして、申し訳ございませんでした。
問題のことですが、極値等を求めていくと考えておりましたので、球座標のことは頭にありませんでした。再考してみたいと思います。ご指摘ありがとうございます。