体積

質問

Y=√3sinx-cosx(π/6≦x≦7π/6)
のグラフとx軸で囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立方体の体積をＶとするとＶ＝？

被積分関数を三角関数の合成を利用して解くそうですが、難しくてよくわかりません。

数(3)の範囲を読んだのですが難しくて困っています。
私に教えてくれる人はいませんか？

すいません

回答No.7

twins-mama

先に三角関数の合成をする方法もありますよ。
y=√3sinx-cosx
=2sin(x-π/6)
y^2=2(sin^2)(x-π/6)
=2*[{1-cos 2(x-π/6)}/2] …(1)
=1-cos(2x-π/3)
(1)は2倍角の公式
sin^2(x) = 1-cos2x
をつかいました。sin^2のままでは積分できませんので。

これをxで積分すると、合成関数の積分を使って
x-2sin(2x-π/3)
となります。あとは計算してみてください。

回答No.6

zaki_shin

訂正です。

tan^-1(√3/1)＝π/3
なので、
y^2=2(1+cos(2x+π/3)ですね。

回答No.5

zaki_shin

私が解いた場合は以下のような感じです。
計算ミスあるかも知れませんが。。
ｙ^2= 3(sinx)^2+(cosx)^2-2√3sinxcosx
(cosx)^2=1-(sinx)^2なので
1+2(sinx)^2-2√3sinxcosxとなる。
(sinx)^2= (1-cos2x)/2, 2sinxcosx=sin2xなので
2-（cos2x+√3sin2x）さらに変形。
ここでcos2x+√3sin2x=2*cos(2x+π/6)なので、
結局y^2=2+2cos(2x-π/6)となる。
これをｘで積分すると、
2x-sin(2x+π/6)となる。
π/6≦x≦7π/6の範囲でこれを求めると
2(7π/6-π/6)-(sin(14π/6)-sin(2π/6))
=2π
で最後にπをかけて答えは2π^2となる。
多分、分からないといってるのは、
cos2x+√3sin2x=2*cos(2x+π/6)の所ではないでしょうか？

sin2x=cos(2x+π/2)なので、

sin2x
↑
　→cos2x
というような2つのベクトルを考えて、
その合成ベクトルで表すとよいです。そうすると、
sin2xの成分が、√3 cos2xの成分は、1なので、
合成ベクトルの大きさは、√((√3)^2+1^2)=2
cos2xと為す角は、tan^-1(√3/1)＝π/6であるため、
結局2cos(2x+π/6)となります。

もっと簡単な説明があるような気がしますがこんな感じです。

回答No.4

twins-mama

積分とは、小さく区切ったものを寄せ集める、と考えてください。
たとえば、土地の面積。長方形だったら公式で求まりますが、そうじゃない場合はどうするか。小さな三角形に区切って、それぞれの面積を求め、寄せ集めて（足して）求めます。そんな感じです。

立体も同じ。回転体をスライスして薄い円盤（円柱）に区切ります。
＃１さんの文章を引用させていただくと、
＞半径ｙの円が、X軸上にπ/6≦x≦7π/6の範囲に並んでいる
とあるように、この円柱の底面は面積π・y^2の円です。そして高さをdx(これはxが限りなく0に近づいていくこと、つまり円柱がより薄いものに近づくことをあらわす)とします。
するとこの円柱の体積は、（πy^2）*dx =（πy^2）dx
これを　π/6≦x≦7π/6　の範囲で寄せ集める（つまり積分する）ので求まるということです。

補足

いろいろと悩んだのですが
解き方がわかりません
πy＾2を積分すると
sin＾2(x-π/6)になって
さらに積分すると
1-cos(2x-π/3)/2から2π＾2になるのがさっぱりわかりません

回答No.3

zaki_shin

＞なぜ積分をするのでしょうか？
なかなか答えにくい質問ですが、
長さ→面積→体積　というのは実はすべて積分です。

円筒とかの体積を求める場合は円の面積×高さですが、高さをｘとすると
∫πr^2dx です。高さhであれば、0→hで積分します。
πr^2h-πr^2・0= πr^2hとなって、結局掛け算と同じ式になっています。ここで、もうちょっと一般化して、rがxの関数だった場合が、ご質問の問題のような場合です。こんな説明でどうでしょうか？

回答No.2

eatern27

＞なぜ積分をするのでしょうか？

積分をすると、簡単に求まるからです。

なので、必ずしも積分を使う必要はないです。積分以外の方法が思いつけば、ですが。

回答No.1

zaki_shin

x軸の周りに一回転しても立方体にはならないと思いますが、半径ｙの円が、X軸上にπ/6≦x≦7π/6の範囲に並んでいる？と考えて、
∫(π・y^2) dx をπ/6≦x≦7π/6で実行してやればよいかと思います。

∫π・（√3sinx-cosx)^2 dx (π/6≦x≦7π/6)をおっしゃる三角関数の合成を利用してとけばよいです。

補足

解き方はなんとなく理解できたのですが
なぜ積分をするのでしょうか？
ちょっとした疑問なのですか？