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数学の問題の解き方について
問題の中の具体的にわからない部分について質問します。 解答を見てもよくわからないので、少しわかりやすく教えてください。 ３ｘ＋７ｙ＝２００ この式を満たす数字の組み合わせは何通りあるか？ (x，yはともに商品の個数ということで、最低両方1以上という条件です)
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３ｘ＋７ｙ＝２００・・・（ア）を満足するｘとｙを一組 見つけましょう。 ６０と１４０で２００になるので、ｘ＝２０とｙ＝２０で いいでしょう。 そうしたら（以下×の記号を省略します） ３（２０）＋７（２０）＝２００・・・（イ） （ア）の左辺から（イ）の左辺を引き、（ア）の右辺から （イ）の右辺を引くと、 左辺は３ｘ＋７ｙー（３（２０）＋７（２０）） ＝３（ｘ－２０）＋７（ｙ－２０） 右辺は０。従って３（ｘ－２０）＋７（ｙ－２０）＝０ から ３（ｘ－２０）＝７（２０－ｙ）・・・（ウ） この等式が成り立つためには、７は３の倍数ではありません から、（２０－ｙ）が３の倍数になる必要があるので、Hを 整数として（２０－ｙ）＝３Hとおきます。 ｙ＝２０－３H・・・（エ）です。（エ）を（ウ）に代入して ３（ｘ－２０）＝７・３H からｘ＝７H＋２０ 以上からHを整数として ｘ＝７H＋２０ ｙ＝２０－３H が３ｘ＋７ｙ＝２００の一般解となります。 後はｘ≧１から７H＋２０≧１、H≧（－１９）/７から H≧－２ ｙ≧１から２０－３H≧１、１９/３≧Hから ６≧Hとなり、Hは－２≦H≦６、すなわち、 －２、－１、０、１、２、３、４、５、６の計９個の値をとることが できます。従って答えは９通りとなります。 具体的に計算すると H＝－２のとき：ｘ＝６ 、ｙ＝２６ H＝－１のとき：ｘ＝１３ 、ｙ＝２３ H＝０のとき ：ｘ＝２０ 、ｙ＝２０ H＝１のとき ：ｘ＝２７ 、ｙ＝１７ H＝２のとき ：ｘ＝３４ 、ｙ＝１４ H＝３のとき ：ｘ＝４１ 、ｙ＝１１ H＝４のとき ：ｘ＝４８ 、ｙ＝８ H＝５のとき ：ｘ＝５５ 、ｙ＝５ H＝６のとき ：ｘ＝６２ 、ｙ＝２ となります。
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- Tacosan
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#2 へのお礼で「この時の一組は、なんでもいいのでしょうか？」と書かれているのですが, なぜ自分で試そうとしないのでしょうか?
お礼
そうですね。 つい、思いついてすぐに質問してしまったのです。 おっしゃる通りです。反省です。
- yyssaa
- ベストアンサー率50% (747/1465)
>３ｘ＋７ｙ＝２００・・・（ア）を満足するｘとｙを一組 >見つけましょう。 >６０と１４０で２００になるので、ｘ＝２０とｙ＝２０で >いいでしょう。 この時の一組は、なんでもいいのでしょうか？ >なんでもいいと思います。ためしに、この問題のほかの一組が 最初に見つかったとして、試してみて下さい。 >（ア）の左辺から（イ）の左辺を引き、（ア）の右辺から >（イ）の右辺を引くと、 これは答えを出す過程で、そういう作業をするものだと覚えておけば よいでしょうか？ >一般解を機械的に得るための手続きとして、覚えておいて損は無い でしょう。
お礼
詳しい回答ありがとうございました。 参考になりました。 正直、もっと単純な問題だと思っていましたが 案外、複雑なんだと感じました(私の場合このレベルでも十分複雑に感じます) もっと勉強せねばと感じました。 お世話になりました。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
＞願わくば、もう少し中学生にもわかりやすいような解き方はありませんか？ そういうこと＝対象が中学生、と言う事は最初の質問の時に書いてくれよ。 これは、高校で扱う“1次不定方程式”というものだから、その回答をしたまで。 ３ｘ＋７ｙ＝２００ → 3ｘ＝200-7ｙ≧3 だから 1≦y≦28。 これを y＝1から28まで“手間隙かかるが”3ｘ＝200-7ｙに代入して、この右辺が3の倍数(＝その時は、ｘは自然数になる)を求める。 200-7ｙが3の倍数になるから、その1位の数が3の倍数になることが必要。 それは2つ置きに現れる整数、つまり、2、5、8、11、14、17、20、23、26。 中学生に分かるように、と言われるとシンドイな。。。。。。小学生と中学生は 苦手。。。。。ｗ
お礼
ありがとうございます。 そして、すみませんでした。 私はこれが「高校で扱う“1次不定方程式”」というこをさえ知りませんでした。 私は数学が苦手で苦労してきた者ですが いまさらにその数学的なものを教えることになってしまいました。 しかも、相手は二十歳を超えた大人ですが、 中学の数学もほとんど理解していない相手です。 解答、参考になりました。 ありがとうございます。
- 中村 拓男（@tknakamuri）
- ベストアンサー率35% (674/1896)
まず、x, y が正の整数になるものを見つけます。 y=1 から始めると y=1 は駄目、y=2 では x = 62 で OK。 次に x が 整数になるには、これを基準にして、7y が3の倍数だけ 変化すればよいわけですが、3と7 の最小公倍数は 21 なので、 y の値は 3 ずつ増やしてゆけばよいことになります。 # 2 に３の倍数を足せばよい。 x, y も正の整数なので、y <= 28 は明らか。なので y=2, y=5, y=8, y=11, y=14, y=17, y=20, y=23, y=26 で9通り。
お礼
ありがとうございます。 ＞次に x が 整数になるには、これを基準にして、7y が3の倍数だけ ＞変化すればよい この理由を、できれば噛み砕いて教えて頂けると助かります。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
３ｘ＋７ｙ＝２００ → 3*(x+2y)＋y＝200。x+2y＝αとすると 3α＋y＝200 よって、3α＝1*(200-y)。 1と3は互いに素から、kを整数として、α＝k、y＝200-3k。 x＝-2y＋αだから x＝7k-400. つまり (x、y)＝(7k-400、200-3k)。これが一般解。 xとyは共に自然数から 7k-400≧1、200-3k≧1。よって、kは整数から 58≦k≦66。 以上から、組み合わせは 9通り。 k＝58、59、60、61、62、63、64、65、66 を代入すれば xとyの具体値が求められる。
お礼
ありがとうございます。 数学苦手の私には少々難しかったですが、なんとか手順はわかりました。 願わくば、、もう少し中学生にもわかりやすいような解き方はありませんか？ (できれば算数的な解き方はありませんか？)
お礼
ありがとうございます。 数学音痴の私に詳しく易しい解説をありがとうございます。 >３ｘ＋７ｙ＝２００・・・（ア）を満足するｘとｙを一組 >見つけましょう。 >６０と１４０で２００になるので、ｘ＝２０とｙ＝２０で >いいでしょう。 この時の一組は、なんでもいいのでしょうか？ >（ア）の左辺から（イ）の左辺を引き、（ア）の右辺から >（イ）の右辺を引くと、 これは答えを出す過程で、そういう作業をするものだと覚えておけば よいでしょうか？