中3数学の問題です

質問

X=x^2+ｘｙ+ｙ^2、Y=ｘ^2-ｘｙ+ｙ^2　のとき、次の式をｘ、ｙを使って表しなさい。

（X－2Y）^2－X（X－Y）－4Y^2

この問題の解き方を教えてください。
与式 = -3(x^2+ｘｙ+y^2)(x^2-ｘｙ+y^2)　までは解るのですが、
ここから解答へ導く過程が解りません。
どなたか教えて頂けますでしょうか。
宜しくお願い致します。

回答No.1

tempestsonata · ベストアンサー

(A+B)(A-B)=A^2-B^2　のような公式？がありますよね。
これを単に利用するというだけの問題ではないでしょうか？

(x^2+ｘｙ+y^2)(x^2-ｘｙ+y^2)の部分に関して、

x^2+y^2 の部分がA
xyの部分がB と考えれば、

(x^2+ｘｙ+y^2)(x^2-ｘｙ+y^2)=(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)　とカッコの中を並びかえて

(x^2+y^2)^2-(XY)^2　となります。

これを分解すれば、
X^4+2X^2y^2+y^4-x^2y^2
=x^4+x^2y^2+y^4

ですね。

与式は、これに-3がついているので、
結局、答えは、-3(x^4+x^2y^2+y^4)
ということではないでしょうか？

もう30年近く算数なんてやってませんので、合ってるか保証できませんけど。

お礼

ありがとうございます！
解答は問題集に載っているのですが、(A+B)(A-B)の公式に置き換えるところは解説に載っていなかったので解答まで辿り着けませんでした。典型的な文系なもので・・・15年近く数学やってませんでしたので(´ω｀)ゞ　解りやすいご説明ありがとうございました。

回答No.2

info22_

直接X,Yを代入するととてつもなく長い式になり計算間違いの元になるので、最初に計算式を簡単にしてからX,Yを代入した方がよさそう。

では、式を簡単にしてみる。

与式=(X－2Y）^2－X（X－Y）－4Y^2
=(X－2Y）^2－4Y^2－X（X－Y）
={(X-2Y)+2Y}{(X-2Y)-2Y}－X（X－Y）
=X(X-4Y)－X（X－Y）
=X{(X-4Y)-(X-Y)}
=X(-3Y)
=-3XY

とすごく簡単な式になってシメタ！やったね！

ここでX,Yの式を代入すると

与式=-3XY=-3(x^2+ｘｙ+y^2)(x^2-ｘｙ+y^2)　

ここで分かりやすくするため

x^2+y^2=A,xy=Bとおいてみよう。

与式=-3(A+B)(A-B)
=-3(A^2-B^2)

A,Bをx,yの式に戻すと
与式=-3{(x^2+y^2)^2-(xy)^2}
=-3{x^4+y^4+(x^2)(y^2)}　　←これが答えだよ。

お礼

ありがとうございます！
解答は問題集に載っているのですが、(A+B)(A-B)の公式に置き換えるところは解説に載っていなかったので解答まで辿り着けませんでした。典型的な文系なもので・・・15年近く数学やってませんでしたので(´ω｀)ゞ　解りやすいご説明ありがとうございました。