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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：数学（組合せ）の質問です。）
x+y+z=15の正の整数解は何通りあるか
このQ&Aのポイント
- x-1=X、y-1=Y、z-1=Zとおくと、X≧0、Y≧0、Z≧0 また、x+y+z=15より、(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=15 よって、X+Y+Z=12、X≧0、Y≧0、Z≧0 求める正の整数解の個数は、(1)を満たす整数解(X,Y,Z)の個数に等しい。これはX,Y,Zから、重複を許して12個取る組合せの総数に等しいので、3H12=3+12-1C12=14C12=14C2=91(通り)
- x+y+z=15の正の整数解の個数を求めるために、新たな変数を導入します。具体的には、x-1=X、y-1=Y、z-1=Zとおきます。これにより、x、y、zが正の整数である条件が、X≧0、Y≧0、Z≧0となります。また、x+y+z=15の式を変形すると、(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=15となります。つまり、X+Y+Zの値が12であることが分かります。したがって、求める正の整数解の個数は、X、Y、Zが12個の組み合わせを作る場合の数に等しいことが分かります。組み合わせの数は3H12=14C2=91通りとなります。
- この問題では、x+y+z=15という式の正の整数解の個数を求める問題です。まず、変数の変換を行うため、x-1=X、y-1=Y、z-1=Zとおくことで、x、y、zが正の整数である条件はX≧0、Y≧0、Z≧0となります。そして、元の式を変形すると、(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=15となります。さらに、この変形後の式を満たす整数解の個数を求めるためには、X、Y、Zから重複を許して12個取る組合せの総数を求めれば良いです。その結果、求める正の整数解の個数は14C2=91通りとなります。
noname#124006
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質問者が選んだベストアンサー
こんばんわ。 この問題は、次の問題と本質的には同じになります。 「15個のりんごを X、Y、Zの 3人に分ける。ただし、少なくとも 1つずつは分け与えるものとする。分け方は何とおりあるか？」 このときは、先に 1つずつ分け与えておいて、残り 12個を分けることを考えます。 そうしておくと、「分け前 0個」となる分け方も考えてよくなるからです。 12個を分けるところは、12個の●と 2個の仕切り棒｜を使って ●●●●｜●●●●●●｜●● と分ける様子を考えればよいです。 先に 1つずつ分け与えているので、 ●●●●｜｜●●●●●●●● といった分け方をしてもいいことになります。 本題に戻りましょう。 ＞そもそも何のためにx-1=Xとおくのかも分かりません。 「正の整数」であることから、引いています。 上の問題で言うところの「少なくとも 1つずつは」のところに対応します。 > 求める正の整数解の個数は、(1)を満たす整数解(X,Y,Z)の個数に等しい。 > これはX,Y,Zから、重複を許して12個取る組合せの総数に等しいので 重複組み合わせとしてもいいですし、 上の●と｜を考えれば 14個の席から 2席を選んで｜を入れると考えることで、14Ｃ2とおり。 とすることもできます。
お礼
な、なるほど～！！ とても分かりやすかったです！ ありがとうございました