高校数学 因数分解? 長文です

質問

高校数学 因数分解(?)について

{32(a^6)-6(a^2)-1}/4(a^5)=0...(2式)
この方程式がa=2^(-1/2)という解を持つようなのですが、これは高校数学の範囲で因数分解できますか?
aは正の実数全体です

ここでは
f(a)=4(a^2)+3+{3/4(a^2)}+{1/16(a^4)}...(1式)
を最小にするaの値を求めることが目的です。
つまり(2式)は(1式)の導関数です

解答では(1式)を直接aで微分はせず、4(a^2)をsと置換して
(1式)
↓
s+3+(3/s)+{1/(s^2)}
としてsで微分計算していくと、確かに
s=2
のときつまり
a=2^(-1/2)
のときf(a)が最小値をとることがわかります

僕はこの程度だったら4(a^2)をsなどと置換せずにそのまま微分したい(←(2式))のですが、置換しなければだめですか?
その結果一番上のように上手く行きませんでした

長文で大変恐縮です
最後まで読んでくださった方ありがとうございます

できれば御指南いただきたいです
よろしくお願い致します
m(_ _)m

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

＞{32(a^6)-6(a^2)-1}/4(a^5)=0...(2式)
＞この方程式がa=2^(-1/2)という解を持つようなのですが、これは高校数学の範囲で因数分解できますか?

できますよ。

分母は0にならなければ、何でもいいので、
a≠0となること以外は気にする必要はなく、

32(a^6)-6(a^2)-1 = 0 を解く、
つまり、左辺が因数分解できればいい訳ですが、

このときに、t = a^2 とおいて、
32t^3 - 6t - 1 = 0 とできれば、
t = 1/2 を代入して、左辺が0になるのが、
すぐ解ります。(※)

置き換えなしでやろうと思うと、

a^2 = 1/2 を代入すると、左辺=0という、
実質的に、置き換えた場合と同じことを考えるか、

a = 1/√2 を代入すると、左辺=0という、
かなり発見しにくいことを、発見しないといけません。
慣れていれば、結構一目で解ることですが、
すると、a = -1/√2 もそうだということが解り、
左辺が、(√2 a - 1)(√2 a + 1) = 2a^2 - 1で割り切れる、
と考えた方が計算が速い、そうなれば、置き換えた方が、
簡単だった、ということに。

どうしても、置き換えたくない、ということであれば、
そういう大変さに堪えられる計算力を持ってることが必要、

置き換えたくない、という訳じゃない、または、そういう
計算力の持ち合わせはないけど、置き換えに気づけない、
ということなら、最初から、この手の問題は諦めるか、
この２通りの置き換えを参考に、気づけるように、がんばりましょう。

どこで置き換えるかは好き好きで構いませんが、
できれば、最初の段階での置き換えに気づけた方が、
全体として、話が短くてすんで、嬉しいかも^^

説教モードみたいになったので、
(※)のような因数の見つけ方について、一言、

整数係数の多項式が(x-p)(p有理数)で割り切れたとしたら、
p = ±定数項の約数/最高次の項の係数の約数になってない
といけない、という大原則があります。

理由は、(mx + n)(m'x^k + … + n') (m,n,m',n'は整数)
と因数分解できたとしたら、
m*m' = 最高次の項の係数、n*n' = 定数項、でないといけないから、

高次方程式を解くときは、頼りになる知識です。

お礼

ありがとうございました!
感謝です!

回答No.5

minodaiski

因数分解の１つの方策ですが...
　32(a^6)-6(a^2)-1=0
のような式に遭遇した場合、
『係数を因数分解すると都合の良い形にならないか？』
と考えて手がかりを探します。上の式は
　(2^5)(a^6)-2×3(a^2)-1=0... (1)
となります。
　すると、なんだか、
『(2^6)(a^6)という形が都合がよさそう』
な気がします。
　(1)式の両辺に 2 を掛けると、
　(2^6)(a^6)-3(2^2)(a^2)-2=0
となります。
　整理して、
　(2a)^6-3(2a)^2-2=0... (2)
となり、
『方程式の次数を下げたく』
なります。そこで、
　t=(2a)^2、とすると、3次の式
　t^3-3t-2=0... (3)
を得ます。
　(3)の実数解は、t=-1、2、です。もう１つ、βがあるとすれば、(t+1)(t-2)(t-β)=0、なので、β=-1。重解です。
　t=(2a)^2=-1、だとaは虚数、
　t=(2a)^2=2、だと、a=2^(-1/2)、-2^(-1/2)
... となります。
　問題を正面突破でも攻略は可能ですが、案外大変かもしれません。
『係数を因数分解して手がかりを探す』
は、覚えて損のない策です。

回答No.4

alice_44

微分するにあたっては、置き換えても置き換えなくても
df(a)/da = (df(a)/ds)(ds/da) となるだけで、
df(a)/da = 0 を解く手間と df(a)/ds = 0 を解く手間は
ほとんど変わりません。 ds/da を括り出すだけです。
A No.2, 3 さんらが書いておられるように、置き換えは、
微分係数=0 を解く際の代数的処理を容易にするのです。
複雑な方程式を簡単な補助方程式の組み合せに帰着する
ことは、代数の基本事項です。

回答No.3

spring135

32a^6-6a^2-1＝0

2a^2がキーになっていることがわかれば相当な実力です。

u=2a^2とおくと

本の式は

4u^3-3u-1=0

u=1が見えますか

因数分解すると

(u-1)(4u^2+4u+1)=0

よって

(u-1)(2u+1)^2=0

回答No.1

mister_moonlight

＞置換しなければだめですか？

駄目とは言わないが、実際に君が計算してみたように、複雑な式をそのまま微分してやると計算が面倒な事が多い。その結果、計算ミスをする。
“置き換え”をすると、扱う関数も簡単になるし、計算も簡単になる。
それは憶えておかなければならない事。