曲線と曲面のちがい

質問

曲線と曲面のちがいを教えてください。
具体的には z = f(x,y) と z(t) = f(x(t), y(t)) の違いとでもいいましょうか。

　　z = f(x,y) ・・・・・・・(1)
は普通曲面を表すと思うのですが
　x,y をパラメータ t で表したとき
　　z(t) = f(x(t), y(t)) ・・・・・・・(2)
もしくは
　　r↑(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) ・・・・・・・(3)
は本当に曲線しか表していないのですか？
(1)でも(2)でも空間座標の1点を表すということでは変わりないと思うのですが。
　ベクトル解析の本ではパラメータ s を積分で t と対応させていますが、これは初めから(3)が空間曲線を表していることを前提にしています。(2)、または(3)は曲面にはなり得ないといういことがよくわからないのです。

回答No.1

akinomyoga · ベストアンサー

> (2)、または(3)は曲面にはなり得ないといういことがよくわからないのです。

(2) の様な書き方の場合、x(t), y(t) の関数形が与えられていると考えるのが習慣です。もし x(t), y(t) の関数形としてあらゆる物を考えている (関数形自体を変数として変化させる) のであれば、仰る通り (1) と同じ面をなします。しかし、x(t), y(t) の関数形を固定すれば曲面 (1) の中を走る「曲線」になります。1つの組(x(t),y(t))に対し1つの曲線が対応します。

(3) の様な書き方の場合も、x(t), y(t), z(t) の関数形が与えられていると考えます。

★ある方程式で与えられる図形が点・曲線・曲面・立体なのかを判断する為には、変数の数と関係式の数を考えれば良いです。
(1)
変数: (x,y,z) の3個、
関係式: z = f(x,y) の1個、
自由度: 3 - 1 = 2 です。自由度が 2 という事は一般に面を表します。

(2)
変数: (x,y,z,t) の4個、
関係式: 実の所 "z(t) = f(x(t), y(t))" は「z=f(x,y), x=x(t), y=y(t) を以て z(t) を定義する」という意味です(曖昧なので余り良い書き方ではないかもしれませんが)。実質的な関係式の数は 3個です。
自由度: 4 - 3 = 1 です。一般に線を表します。

(3)
変数: (rx,ry,rz,t) の4個
関係式: 「rx = x(t), ry = y(t), rz = z(t) を以て r↑(t) を定義する」という意味です。実質的に3個です。
自由度: 4 - 3 = 1 です。一般に線です。

★あるいは質問の例は単純なので、素直にどの変数の値を決めたらどの変数の値が決まるかを考えれば良いです。
(1) の場合は、x, y を決めたら z が決まります。こちらが自由に指定できるのは (x,y) の2つです。自由度が2という事になります。
(2) の場合は、t を決めれば x(t), y(t) が決まり、更に z が決まります。こちらが指定できる変数は t の1つです。自由度は1です。
(3) の場合は、t を決めれば x(t), y(t), z(t) が決まり r↑(t) の各要素が決まった事になります。こちらが自由に指定できるのは t の1つなので、自由度は1です。

お礼

早速のご回答まことにありがとうございます。
> x(t), y(t) の関数形を固定すれば曲面 (1) の中を走る「曲線」になります。
　ああ、なるほど。関数形を固定するわけですね。であれば
　　r↑(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )
が曲面を表すことがより納得できます。
　自由度による判定というのは、興味深いです。
　ネットを検索したら大学教養程度の数学で読めるらしい微分幾何の本がありましたので、それを取り寄せて読んでみます。本当にありがとうございました。