相加相乗平均の帰納法での証明について。

質問

一般の相加・相乗平均の証明法で
http://www005.upp.so-net.ne.jp/mi_kana/story/souka-soujou.pdf

(1)あるnで成り立つと仮定して、2nでも成り立つことを証明。
(2)n+1で成り立つと仮定して、nでも成り立つことを証明。

(1)、(2)より全ての自然数nで成り立つ。

としているみたいなのですが、
(1)、(2)が成り立つときになぜすべての自然数nで成り立つのかが分かりません。

どなたかもう少し詳しく説明して頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

ご質問のリンク先にありますように「逆向きの帰納法」だからです。

「一般の(前向きの）帰納法」は、n=kのとき成り立てば、n=k+1のときも成り立つことを示しますので、「どこまで行っても次がある」ことになり、すべての自然数nで成り立つと言えます。

ところが「逆向きの帰納法」で［n=k+1のとき成り立てば、n=kのときも成り立つ］こと…（１）を示すだけでは、「n=k以下の自然数について成り立つ」ことは言えますが、「n=k+2以上の自然数について成り立つ」ことが示されていません。

そこで、［n=kのとき成り立てばn=2kのときも成り立つ］こと…（２）を補ってやれば、いくらでも大きな自然数nについても成り立つことがわかります。(次々に倍々ゲームでnが大きくなるイメージです）

これと（１）を合わせれば「どんな大きな自然数nでも成り立ち、しかもそれより小さなすべての自然数で成り立つ」こと、ひとことで言えば「すべての自然数nで成り立つ」ことを示せたことになります

お礼

お礼が遅れましてすみません。

ご回答どうもありがとうございます。

>いくらでも大きな自然数nについても成り立つことがわかります。(次々に倍々ゲームでnが大きくなるイメージです）

ここに気付きませんでした…。^^;
スッキリわかりました。^^

本当にどうもありがとございました。

回答No.4

JOUNIN

(1)よりn=1,2,4,8,…,2^kで成り立つことがわかります
それを用いて(2)を示すのですが、n=k+1で成り立った時、
n=kでも成り立つことが示せれば、例えばn=6のときは
(1)よりn=8で成り立つことはわかっているので、(2)から
n=7でも成り立ち、n=7で成り立つならばやはり(2)より
n=6でも成り立つことがわかります
結果的にこれで全ての自然数nについて成り立つことが示せるわけです
ただし正確には(1),(2)だけでなくn=1の時成り立つことも示さないと
すべての自然数nについて成り立つとは言えません
数学的帰納法の基本的考え方ですので、しっかりと理解しておいてください

ちなみに相加相乗平均の一般的証明には以下のような鮮やかなものも存在しますので
参考にしてみてください

y=e^xとy=x+1のグラフを考える(eは自然対数の底)
この2つのグラフはx≧0でe^x≧x+1である(グラフ書けばすぐにわかります)

ここでA=(a1+a2+…an)/n、B=a1a2…anとおく(a1,a2,…,anは正の数)
このときe^x≧x+1のxに(ai/A)-1(i=1,2,…,n)を代入し、それぞれかけると
e^[{(a1/A)-1}+{(a2/A)-1}+…{(an/A)-1}]≧(a1/A)(a2/A)…(an/A)
⇔e^[{(a1+a2+…+an)/A}-n]≧(a1a2…an)/A^n
⇔e^{(nA/A)-n}≧B/A^n
⇔e^0≧B/A^n
⇔1≧B/A^n
⇔A^n≧B
(証明終)

お礼

お礼が遅れましてすみません。
ご回答どうもありがとうございます。

グラフを使う証明法はすごいですね・・・。
自力で思いつくのはなかなか難しいと思いますが、
精進します。
どうもありがとうございました。

回答No.3

Tacosan

え?

2p ← p ((1) から) とか
2q+1 ← 2q+2 ((2) から) とか
できるじゃん.

つまり
・偶数なら 2 で割る
・奇数なら 1 を加える
ということ. これで最終的に 1 に到達することはわかるよね?

お礼

お礼が遅れましてすみません。

再度の回答どうもありがとうございました。

>・偶数なら 2 で割る
>・奇数なら 1 を加える
このような作業で1まで辿っていくという考え方もできるのですね。
勉強になりました。
どうもありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

どう考えて「分からない」のでしょうか?

この手続きで任意の自然数が (n=1 から) 出てくるでしょ?

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

n=1で成り立つので、(1)よりn=2 , 4 , 8 , ・・・,2^kが順に成り立つのは分かりますが、
例えば自然数2p や2q+1で成り立つことは
どのようにして考えればよいでしょうか？