相加相乗平均について

質問

相加相乗平均についてどなたかお教えください。
先日、
a+b/2≧√ab
という式が成り立つと学校の数学の授業で習いました。
実際に計算をしてみると
a≧0かつｂ≧0の仮定より
(a+b/2)^2-(√ab)^2=a^2+2ab+b^2/4-ab=（a-b)^2,,≧0である
という証明ができることは分かるのですが、
なぜ√abがa+b/2の最小値だと断定してしまえるのかがわかりません。

問題で実際に運用される際はいつもそのような前提で利用されているようなのですが、
今ひとつその前提が理解できず困っております。
どなたか知恵をお貸しくださいませ。

回答No.5

lx002PH · ベストアンサー

次のような例がいいですかね。

a＞1の時
a+2/(a-1)
の最小値を求めよ。

誤
a＞0,2/(a-1)＞0なので
a+2/(a-1)≧2√{2a/(a-1)}
等号成立は
a=2/(a-1)より
a^2-a-2=0の時で、a＞1より
a=2の時
よってa+2/(a-1)の最小値はa=2の時
2+2/(2-1)=4

これが間違いなのはa=2.25を代入すれば、
2.25+2/(2.25-1)=3.85＜4
であることから確かめられます。

正
a+2/(a-1)=1+(a-1)+2/(a-1)≧1+2√{(a-1)・2/(a-1)}=1+2√2
等号成立は
a-1=2/(a-1)より
a^2-2a-1=0の時で、a＞1より
a=1+√2の時
1+√2+2/(1+√2-1)=1+2√2
よってa＞1の時のa+2/(a-1)の最小値は1+2√2

(a+b)/2≧√(ab)
は個々のa,bについて
計算した値は左辺が常に右辺の値以上
と言ってるだけで、(a+b)/2の最小値については何も言っていません。
誤でも左辺は確かに右辺以上になっていて、等号成立時に左辺と右辺の値が一致します。しかし最小値とは無関係です。あくまでも
(a+b)/2は√(ab)以上
つまり

(a+b)/2は√(ab)より小さくはならない

と言っているに過ぎません。
さて正答では、

a+2/(a-1)≧1+2√2

が成り立っています。つまり、

a+2/(a-1)は1+2√2より小さくはならない

ので、仮に等号成立すればa+2/(a-1)は

1+2√2になる時があるが、1+2√2より小さくはならない

ことから、最小値が1+2√2になることが確定します。
違いは

左辺はどちらも右辺以上だが、
誤答では右辺の値が変動する
のに対して
正しい回答では右辺が定数になる

という点です。右辺が定数ならその定数より小さくはならないことが確定するので、仮に等号が成立する場合があるならその定数が最小値になります。右辺が定数にならず値が変化する場合は当然最小値になる保証はなく、最小値だと断定するのは誤りです。学校では断定できる問題を選んでいます。

もう一つ間違いの例を
a^2-2a+1≧0より
a^2+1≧2a
等号成立はa=1の時だから
a^2+1の最小値は2

もちろんa=0の時最小値1が正解で、等号成立と最小値は関係ありません

お礼

なるほど！！
左辺が変数で、得体が知れないように見えても「この値よりは小さくならない」という定数だけは解るということに意味があるのですね。相加相乗平均のこの式は、あくまで計算過程の手段として利用され、それ自体は結論になり得ない、と。
完全な理解に至っているかは分かりませんが、私としては疑問が解け、スッキリしました。あとは参考書などで例を見ていってこの納得感を固めたいと思います。
わざわざご丁寧にありがとうございました、心からお礼申し上げます。
個人的に最も分かりやすい説明をしてくださったので、ベストアンサーに選ばせて頂きます。他の方にも厚く感謝致します。
重ねて、ありがとうございました！

回答No.4

noname#232123

２正数a, b について、(a+b)/2≧√(a*b) ⇔ {√a - √b}^2≧0 ですから不等式は常に成立します。
これを使ってある式の最小値と求めるときは注意が要ります。
(ex.) x^2+3+1/(x^2+3) の最小値は？
x^2+3+1/(x^2+3)≧2√1=2, ですから、最小値は「２」・・・とはなりません。
（x^2+3≧3 ですから、左辺の関数は少なくとも３より大きくなり、「２」にはなりえません）

※ (a+b)≧2√(a*b) は成り立つことは確かですが、「等号がいつ成り立つか」が重要です。

回答No.3

noname#212058

この式から導き出されるのは『√ab が (a+b)/2 の最小値』ということ
ではありません。『(a+b)/2 は √ab よりも小さくなることはあり得
ない』ということです。似ているようで全く違います。

従って、誰も『√ab が (a+b)/2 の最小値』であることなんて断定
していないですし、そのような前提でこの式を使ってはいけません。

回答No.2

asuncion

＞なぜ√abがa+b/2の最小値だと断定してしまえる

何かおっしゃっている意味がよくわかりませんが、
等号が成り立つのはa = bのとき。
このとき、(a + b)/2 = √(ab)
a ≠ bのときは、必ず(a + b)/2 > √(ab)
つまり、√(ab)は(a + b)よりも大きくなれない、
というだけのことであるような気がします。

回答No.1

spring135

まず

(a+b)/2≧√ab　　　（1）

と書くべきです。

＞なぜ√abがa+b/2の最小値だと断定してしまえるのかがわかりません。

（1）は(a+b)/2が√abに等しいかそれより大きいと言っているのであって（1）の式の意味そのものです。　

＞(a+b/2)^2-(√ab)^2=a^2+2ab+b^2/4-ab=（a-b)^2,,≧0である
という証明ができることは分かるのですが

この証明以前の話です。