数学的帰納法について

質問

数学的帰納法について質問があります。

数学的帰納法の問題で
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/inductive_method3.htm
のnが〇以上（〇には具体的な数値が入ります）のとき
証明せよ
の問題の解き方は理解できるのですが考え方に不明な点があります。

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数学的帰納法は
(I)　n=1 のとき（Ａ）が成り立つことを証明する．
(II)　n=k のとき（Ａ）が成り立つことを仮定する．
その仮定を使って
n=k+1 のとき（Ａ）が成り立つことを証明する．
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とのことですがkは任意に自然数として理解をしていましたがこの考え方をすると、
nが〇以上の時について証明せよ。において
(I)　n=〇のとき（Ａ）が成り立つことを証明する．
(II)　n=kのとき（ｋ＞＝〇）（Ａ）が成り立つことを仮定する

の（ｋ＞＝〇）の条件を書く必要があるのかがわかりません。
すなわち、
私が考えているのは、
(I)　n=〇のとき証明できたのだから
(II)　n=kのとき（ｋ＞＝〇）ではなくn=kのとき（ｋ＞＝〇+１）
と何故書かないのかということに疑問があります。

そのため、
すべての自然数 n について，次の不等式が成り立つことを証明せよ．
の問題では、
(I)　n=1 のとき（Ａ）が成り立つことを証明する．
(II)　n=k のとき（ｋ＞＝１）（Ａ）が成り立つことを仮定する．
と書かないのか

という内容に混乱をしています。

これについて先生に尋ねてみたら
すべての自然数において問題は自然数１から必ず行うものだから
（ｋ＞＝１）というのは暗黙の了解である。
だから、書かなくていい
といわれました。

この考え方にあまり納得いかないので、わかりやすく解説をしてください。

回答No.2

noname#212313

> (I)　n=〇のとき証明できたのだから
> (II)　n=kのとき（ｋ＞＝〇）ではなくn=kのとき（ｋ＞＝〇+１）

　nが1以上のときにしてみると、

(I)　n=1のとき証明できたのだから
(II)　n=k≧2のときを証明する

としてみます。(II)は

(II)’あるn=k≧2のとき成り立つなら、n+1でも成り立つ

ことを証明することになります。これが証明できたとします。それで1以上の全ての自然数で証明できたことになるでしょうか？

　よく考えると証明できていません。n=k≧2としてしまったために、(I)とつながらないのです。

　もし、「あるn=k≧1のとき、n＝k+1でも成り立つ」ことが証明できれば、まず、

１．n＝1で成り立つことはもう分かっているから（証明したから）、n＝1+1＝2でも成り立つ

ことになります。これを使えば同じように、

２．n＝2で成り立つから、n＝2+1＝3でも成り立つ

となり、これを繰り返せば、まるでドミノ倒しのように、どんなに大きい自然数であっても成り立つことになります。

　ところが、「あるn＝k≧2で成り立てば、n＝k+1でも成り立つ」ことを証明してしまうと、上記の１が保証できません。n＝1について証明したのは、

再掲：(I)　n=1のとき証明できたのだから

とn＝1の場合だけです。nを+1しても成り立つということではありません。n＝2の場合へはつなげようがないわけですから、ドミノ倒しになっていかないわけです。

　数学的帰納法は、

(1)n＝○（○は証明したいnのうち最小のもの）の場合の証明と、
(2)n＝k≧○で成り立てばn＝k+1でも成り立つ証明

に分かれ、一見して二つはバラバラな証明に見えます。しかし、そこが巧妙な仕掛けで、二番目が一番目のn＝○を含んでいるため、二つが証明できれば一気にあらゆるnで成り立つことが分かるようになっています。要点は「二番目が一番目のn＝○を含んでいる」という部分なわけです。

　ですから、二番目をn＝k≧○+1にしてしまうと、n＝○というつながりがなくなり、とたんに本当に二つのことをバラバラに証明しただけになり、全てのnについて保証できなくなってしまうのです。

回答No.1

maiko0318

(I)　n=1 のとき（Ａ）が成り立つことを証明する．
(II)　n=k のとき（ｋ＞＝１）（Ａ）が成り立つことを仮定する．

１のときは証明したんだから
２からについて仮定・証明するということ。
あなたの考えでは１のときをもう一度証明しなければならなくなる。

１）１の時の証明
２）２からについて仮定・証明する
↓
１）１の時の証明
２）１からについて仮定・証明する