数学的帰納法

質問

すべての自然数nについて、
An=Bn(n>=1)が成立することを、数学的キノウ法でよく証明しますが。
n=kで成り立つと仮定、n=k+1を確かめ、成り立てばいいのですが。
ふと疑問が起こりました。
まず,n=kのとき、成り立たない場合　でもn=k+1で成り立つということもあると思います。
数学教師の、ドミノでの教え方はは本質をごまかしているような気がします。
数学的キノウ法はなぜ正しいかを論理的に教えてください。
お願いします。

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

数学的帰納法できちんと証明できている命題であることを前提に:
確かに
「n = k では成り立たなくても n = k+1 では成り立つ」
ことはあるけど.... ちょっと考えてみてください.

この条件が, 数学的帰納法のどこかで効いてきますか?

数学的帰納法のキモは, #2 にもあるように
・n = 1 では成り立つ
・n = 1 で成り立つから n = 2 でも成り立つ
・n = 2 で成り立つから n = 3 でも成り立つ
・... (以下略)
ですから, 「n = k では成り立たない」と仮定して何かを導くというプロセスは不要です.
で, 不要なプロセスですから証明では述べません.

お礼

ありがとうございます。多分わかったと思います。
数学的キノウ法の書き方に違和感があるので、書き換えて、理解したいと思います。
(1)n=1は正しい。
(2)任意kに対してn=kで成り立つ時、n=k+1で成り立つことが分った。
(1)(2)よりすべての自然数nで成立。
これでいいですか？

回答No.3

proto

数学的帰納法で証明したい命題は、"すべてのn"で成り立つの？ということに興味があることです。

n=kで成り立たないけれど、n=k+1で成り立つ場合
その場合にはn=kで成り立たないことがわかった瞬間に「あーすべてのnでは成り立たないか、ちゃんちゃん」となります。
問題にしているのはすべてのnで成り立つのか否かですから、一個でも成り立たないnが見つかればそこで終わりです。
ですが「n=1で成り立ち、n=kで成り立つならばn=k+1でも成り立つ」という条件を満たせば、すべてのnについて成り立つことがわかります。

もしすべてのnでは成り立たないことがわかって、「では成り立たないようなnは何？」という疑問がわいたときには、帰納法では求められないので別の方法を考えます。
これがn=kで成り立たないとき、です。

お礼

補足説明ありがとうございます。広く考えすぎていました。

回答No.2

noname#43759

数学帰納法でのプロセスが完了したとすると、以下の事柄は正しい。
（１）n=1のとき成り立つ。
（２）n=kのとき成り立つならば、n=k+1のときも成り立つ。

n=1のとき成り立っている。
このとき（２）よりn=2のとき成り立つことがわかる。

n=2のとき成り立つことがわかったから
（２）よりn=3のとき成り立つことがわかる。

n=3のとき成り立つことがわかったから
（２）よりn=4のとき成り立つことがわかる。

n=4のとき成り立つことがわかったから
（２）よりn=5のとき成り立つことがわかる。

同じようなことは無限に続く。
よって、最終的には
すべての自然数nに対して成り立つ。

補足

だいたい理解しました。ありがとうございます。
すべての自然数nについて、
An=Bn(n>=1)が成立することを確かめる。

数学的キノウ法を使う。
(1)n=1 OK→(2)n=k (任意) OK仮定 →(3)n=k+1 OK ならば、すべての自然数OK

(1)' n=1 OK→(2)' n=k(任意) OK仮定 →(3)' n=k+1 NG ならば、すべての自然数NG
(1)'(2)'(3)'　⇒ある番号kで成立しない。

回答No.1

ymmasayan

一つ抜けていませんか。
１．ｎ＝１で成り立つ
２．n=kで成り立つと仮定すればn=k+1で成り立つ

ｎ＝１で成り立つ
ｋ＝１とするとｎ＝２でも成り立つ
ｋ＝２とするとん＝３でも成り立つ
まさにドミノ倒しです。

>　n=kのとき、成り立たない場合でも、n=k+1で成り立つということもあると思います。
その時は数学的帰納法で証明できないだけです。
別の方法で証明するのです。

補足

わかったような、わからないような感じです。
頭は抜けてました。
数学的キノウ法は仮定の上で、成立するように見えます。
n=kのときに成り立つと仮定することに違和感を感じます。

>　n=kのとき、成り立たない場合でも、n=k+1で成り立つということもあると思います。
その時は数学的帰納法で証明できないだけです。
別の方法で証明するのです
これはある番号kで成立しないなら、そもそも命題は偽ということを説明しているのですか？