数学的帰納法

質問

数学的帰納法の、証明の過程において、よくわからないところがあります。回答よろしくお願いします。
例えば、次のような問題。

「nが５以上の自然数のとき、２＾n＞n＾２（・・・A)を証明せよ。」
(1)n＝５のときAは成り立つ。
(2)ｋを５以上の自然数として、ｎ＝ｋのときAが成り立つと仮定すると、ｎ＝ｋ＋１のときにAが成り立つ。
(1)、(2)より与命題は証明できた。

この証明では、２＾ｋ＞ｋ＾２を用いて、ちょっと計算をすることによって２＾（ｋ＋１）＞（ｋ＋１）＾２を導いて、ｎ＝ｋ＋１のときにAが成り立つことを言いますよね。でも僕は、５以上の全ての自然数ｋについて２＾ｋ＞ｋ＾２を仮定した時点で、何の計算も必要なしに２＾（ｋ＋１）＞（ｋ＋１）＾２が言えると思います。なぜなら、例えばｋ＝５とすると、ｋ＋１＝６となりますが、kに当てはまる値の条件と２＾ｋ＞ｋ＾２より、２＾６＞６＾２も言える、つまり、k＋１に当てはまる数はすべてkに当てはまるからです。
僕の考えの間違いを教えてください。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

2 の方は「5 以上の『全ての』k に対して仮定してる」わけじゃないんだよね.
5以上の「ある」k に対して 2^k > k^2 を仮定して, 2^(k+1) > (k+1)^2 になることを証明するわけ.

お礼

回答ありがとうございます。非常にわかりやすかったです。

回答No.3

kumipapa

２＾n＞n＾２
が成立する全ての自然数の集合をＡとします。

（１）で言っているのは　「５∈Ａ」（５は集合Ａの元である）
（２）で言っているのは　「ｋ∈Ａ　ならば　ｋ＋１∈Ａ」を証明できる
（３）で言っているのは、「（１）かつ（２）ならば５以上の全ての自然数は集合Ａの元である」、ということ。つまり、５以上の全ての自然数で　２＾n＞n＾２ が成立する。

（２）で仮定していることは、「ｋ≧５を満たす任意の自然数がＡの元である」ということではなく、単純に「ｋがＡの元ならば」ということです。

・　１∈Ａ
・　ｋ∈Ａならばｋ＋１∈Ａ
の両方が成立するならば、Ａは自然数全体の集合
というのがよくある流れですよね。

お礼

回答ありがとうございます。非常にわかりやすくて助かりました。おかげさまで理解できたように思います。

回答No.2

Mr_Holland

たしかに、「５以上の全ての自然数ｋについて２＾ｋ＞ｋ＾２」であることが《証明》できれば、質問者さんの言われるとおりだと思います。
　しかし、数学的帰納法では、ｎ＝ｋのときについては《証明》しているのではなく、単に《仮定》しているだけです。ここでｎ＝ｋ＋１について言及しなければ、どこまでも《仮定》の範囲を出ず何も示していません。つまり、正しいと《仮定》しているから正しいんだという、駄々っ子のような理屈になってしまいます。
　なので、数学的帰納法を利用する訳です。

お礼

回答ありがとうございます。おっしゃっていることはわかるのですが、Mr_Hollandさんの回答がなぜ僕の質問への回答になるのかがわかりません。補足で説明をお願いしてよろしいでしょうか？