相加＞相乗＞調和平均？

質問

正の実数a_1, a_2, a_3…, a_nに対して、
常に、
（相加平均）＞（相乗平均）＞（調和平均）
となることを証明したいのですが、
証明の糸口すら見つけられません。

ご教授お願いいたします。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

相加平均≧相乗平均
については、n=2^kで成立することを帰納法で証明し、
n+1の時に成り立つと仮定して、nの時に成り立つ事を証明する
という証明を見かけた事があります。ちょっと変わった帰納法ですね。

余談はそれくらいにして、証明を。(厳密なものがよければ、他の方に期待するとか補足するとかしてください)
y=logxは上に凸なので、
A1(a_1,loga1),A2(a2,loga2),・・・,An(an,logan)
を頂点とするn角形の重心はy=logxの下側にある。

すなわち、
log((a1+・・・+an)/n)≧(loga1+・・・+logan)/n
∴(a1+・・・+an)/n≧(a1・・・an)^(1/n)

相乗平均≧調和平均
上の証明で
a1→1/a1,・・・,an→1/anとすると
((1/a1)+・・・+(1/an))/n≧(1/(a1・・・an))^(1/n)
この後は容易。

お礼

ありがとうございます。参考になりました＾＾

ただ、補題としてn角形の重心の位置が
(a_1 + a_2 + … + a_n)/n
となることを証明する必要があるようですね。

これは自分で考えてみますね＾＾
（わからなければまた質問させていただきますので＾＾；）

ありがとうございました＾＾