数学についての質問です。

質問

この問題を解いてください。

y=1/(2x) x>0 のあらわす曲線Ｃの１点をＰとし、原点
とＰを結ぶ線分と直線y=xおよびＣで囲まれる面積をＳとするとき、点Ｐから直線 y=xまでの距離ｄをＳであらわせ。

回答No.1

muturajcp

y=1/(2x),x>0のあらわす曲線Cの1点を
P=(p,1/(2p))
点Pから直線y=xまでの距離をd
原点とPを結ぶ線分と直線y=xおよびCで囲まれる面積をS
Pからy=xへの垂直点を(x,x)
とすると
(x-p,x-1/(2p))と(1,1)は垂直だから内積は
((x-p,x-1/(2p)),(1,1))=x-p+x-1/(2p)=0
x=1/(4p)+p/2
d^2=(x-p)^2+{x-1/(2p)}^2={p-1/(2p)}^2/2
d=|p-1/(2p)|/√2

S=|∫_{0～1/√2}xdx+∫_{1/√2～p}1/(2x)dx-∫_{0～p}x/(2p^2)dx|
S=|(1/4)+∫_{1/√2～p}1/(2x)dx-(1/4)|
S=|∫_{1/√2～p}1/(2x)dx|
S=(1/2)|[logx]_{1/√2～p}|
S=(1/2)|[logp-log(1/√2)|
S=(1/2)|[log(p√2)|
2S=|log(p√2)|

p≧1/√2のとき
p=e^{2S}/√2
1/(2p)=e^{-2S}/√2
d=|e^{2S}-e^{-2S}|/2

p<1/√2のとき
p=e^{-2S}/√2
1/(2p)=e^{2S}/√2
d=|e^{-2S}-e^{2S}|/2
∴
d=|e^{2S}-e^{-2S}|/2