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可解群についてです。
二面体群は可解群であることを示したいのですが、どうも上手く示すことができません。 だれか教えていただけませんか？
- hatfield3505
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回答No.3
二面体群はDn=〈σ,τ; σ^2=τ^n=(στ)^2=1〉という表示を持ちます。 いまτの生成するn次巡回群〈τ〉はDnの正規部分群になる(※)ので、隣接する商が可換群になる正規部分群の列(可解列) Dn ⊇〈τ〉⊇ {1} が得られます。これでDnが可解群であることが分かりました。 参考までに、(※)の箇所の詳しい説明です。 Dnはσとτで生成されるので〈τ〉がDnの正規部分群であることを示すには σ〈τ〉σ^(-1) ＝〈τ〉を示せば十分です。 まず、σ〈τ〉σ^(-1) ＝〈στσ^(-1) 〉ですが、 σ^2=1よりσ=σ^(-1)なので〈στσ^(-1) 〉＝〈στσ〉です。 また関係式(στ)^2=1より〈στσ〉＝〈τ^(-1)〉＝〈τ〉 こうして、〈τ〉がDnの正規部分群であることが分かります。
補足
それは成り立たないと思います。