この式は代数的に可解でしょうか

質問

x^5 - 2x^4 + 3x^3 - 4x +5 = 0

デーエンがアーベルに問うたという上記の式は、実際のところ代数的に可解ではない式ということなのでしょうか。

回答No.1

toni_desu

xの解があるかないかということであれば、あります。
実数の解は-1.1332188206750171146719273867967788553350061167473（小数点以下50桁目を四捨五入）です。
複素数を含めてよければ、あと4つ解があります。

お礼

コメントをありがとうございます。

補足

「４次を超える一般方程式の代数的解法は不可能であることの証明」をしたのはアーベルですが、若かりし頃は５次方程式の根の公式を発見したと思い論文を書いています。その論文は恩師経由でコペンハーゲン大学のデーエン教授に届いています。その返信としてデーエンは、どこがどうまちがっているという指摘はないがアーベルが発見した公式を具体的な例にあてはめてもらいたいと要請しました。その実例というのが質問の式です。
その話は、その後の進展が無かったようですので、アーベルは問われた式を解けなかった、それも、難しいから解けなかったのではなく、本質的に代数的に解けない方程式だったから解けなかったのかと思うのですが、その点について後世の知識で確認したいというのが質問の意図です。
参考文献：大数学者の数学/アーベル(前編)不可能の証明へ、高瀬正仁、現代数学者　ISBN978-4-7687-0432-5