特殊ユニタリ群に多様体の構造を定義せよ。

質問

特殊ユニタリ群（２×２行列）　が可微分多様体であることを示したいのですが、どう手をつけたらいいかわかりません。

局所近傍で覆えるのでしょうか？

誰か教えていただけませんか？

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

2次の特殊ユニタリ群（以下SU(2)と記す）の元をAとすると、Aは、

　　|ξ|^2+|η|^2 = 1

を満たす2つの複素数ξ、ηによって、添付図上段のように表すことができます。さらに、

　　ξ= x1 + ix2、η= y1 + iy2

とすれば、Aは、

　　x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2 = 1

を満たす4つの実数によって、添付図下段のように表すこともできます。

複素係数の2行2列行列は8個の実数で表されるので、SU(2)には、自然な対応により、8次元ユークリッド空間の部分位相空間としての位相を導入できます。この位相の下、Aとx1、x2、y1、y2との対応によって、SU(2)は、3次元球面S3と同位相であることが分かります。あとは、S３に可微分多様体の構造を入れるのと同じ要領で、SU(2)にも可微分多様体の構造を入れることができます。この構造により、SU(2)は、R8の閉部分多様体になります。

お礼

できました。ありがとうございます。

回答No.3

kabaokaba

横田一郎「群と位相」
横田一郎「古典型単純リー群」

なんて本を見てみましょう．
「群と位相」のほうは今でも売ってます．
学部生程度の知識で，
古典群の位相構造やら胞体分割とかの計算を
詳細に示してくれます．

お礼

ありがとうございました。。

補足

ありがとうございます。
探してみます。

回答No.1

ramayana

何か言葉が足りないのではないでしょうか？

例えば、単に特殊ユニタリ群に可微分多様体の構造を入れるだけなら、次のような方法もあります。

「集合として特殊ユニタリ群の濃度は実数全体の濃度と等しいのだから、特殊ユニタリ群から実数全体への全単射fが存在する。すると、｛f｝が１つの局所座標系になる。」

多分、上の例は、質問者さんが意図するものではないはずです。この例を排除するために、追加的な条件を記述していただく必要があります（特殊ユニタリ群に何らかの位相を定義して局所座標系が連続写像から構成されるようにする、あるいは、群としての乗法が可微分写像になるようにする、など）。

補足

問題がそのようなことしかなかったのですが、おそらくＳ３と微分同相になるような多様体を考えているのだと思います。
確かに上のような解答は予想していなかった解答です。
はめ込みと埋め込みという概念を習ったばかりなので、もしかしたらそのようなものを使うのかもしれません。