微分と三角関数の問題なのですが…

質問

f(b)=sin(a-b)cosb

を微分し=0になる等式が
b=1/2a-45°

となるそうなのですが、導き方が分かりません！
数学に精通した方お助け下さい(＞人＜;)

回答No.2

DJ-Potato

{F(x)・G(x)}' = F'(x)・G(x) + F(x)・G'(x)
関数の掛け算の微分は、片方ずつ微分したものを足す

{F(G(x))}' = G'(x)・F'(G(x))
合成関数の微分は、中身の微分×そのまま微分

f(b) = sin(a-b)・cos(b)
f'(b) = {sin(a-b)}'・cos(b) + sin(a-b)・{cos(b)}'
= (a-b)'・cos(a-b)・cos(b) + sin(a-b)・{-sin(b)}
= -cos(a-b)・cos(b) - sin(a-b)・sin(b)
= -{cos(a-b)・cos(b) + sin(a-b)・sin(b)}
= -{cos(a-b-b)}　　　・・・cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ
= -cos(a-2b)

f'(b) = 0　より
a - 2b = 90°
b = 1/2・a - 45°

でどうでしょう？

回答No.1

rnakamra

これなら積→和の公式で先に変形しておいたほうが楽そう。

f(b)=sin(a-b)cos(b)=(1/2){sin(a)+sin(a-2b)} ←第1項はbを含まないためbで微分すると消える
f'(b)=-cos(a-2b)

これが"0"になる条件はわかりますね。