楕円 ax^2+2bxy+cy^2≦1 の面積

質問

以前にも同じ質問をしましたが、良い手がかりをつかめなかったので、もう一度質問します。

a,b,c は定数とします。
ac-b^2＞0 , a＞0 のとき、楕円 E:
ax^2+2bxy+cy^2≦1
の面積
∬_E dxdy
を求めるとき、どのようなことをすればよいでしょうか。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

以前の質問で、
＞楕円 D:(ax+by)^2/α^2+(cx+dy)^2/β^2≦1 に関して
が分かったのなら、

ax^2+2bxy+cy^2=(ax+by)^2/a+y^2/{a/(ac-b^2)}

とすればいい。

お礼

この形なら、楕円 D:(ax + by)^2/α^2 + (cx + dy)^2/β^2≦1 に代入できますね。
ありがとうございます。

答えは、π/√(ac - b^2) となりました。

回答No.4

WiredLogic

求めたいのが「面積」なら、
標準形に直して、π×(長径の半分)×(短径の半分)、
が筋だと思いますが、
質問者さんは「積分の仕方」が知りたい訳ですね。

高校の円の問題でも、大問の中で、
1. 「積分」4∫[0,r]√(r^2-x^2)dx を、置換積分で求める、
2. その「積分」が、円・x^2+y^2=r^2の「面積」だということを示す
3. 逆に、簡単に求まる、円の「面積」から、「積分」を求める
などのようなことをさせて、理解を深める問題もありますから、

目標が「面積」を求めることで、標準形に直す部分が理解できるなら、
1を求めるのは、他の回答者さんがおっしゃるように、無駄ですが、
上の例のような意味で、例の1の部分を求めたい、ということなら、
意味があることかと、思います。

そこらへんの事情があれば、ハッキリと示された方がよかったように思います。

さて、本題ですが、テキストだけで書くと、式がグチャグチャになって、
読みにくく、タイプミスなども残っていると思うので、
解法と言うより、ヒントのつもりで使って、
自分で手書きしながら、計算してみてください。
筋自体は、別に難しくないと思います。

ax^2+2bxy+cy^2≦1 ⇔ ax^2 + 2bxy + cy^2-1 ≦ 0 なので、
これを a＞0が使えるように、xについての不等式と見て、
解いてみます。～=0という方程式の解は、
x = [-by ± √{(-by)^2 - a(cy^2-1)}]/a
= {-by ± √(b^2*y^2 - acy^2 + a)}/a
= [-by ± √{a - (ac - b^2)(y^2)]/a
となり、xが実数解を持つ条件は、
D/4 = a - (ac - b^2)(y^2) ≧ 0 から、y^2 ≦ a/(ac-b^2)、
a＞0, ac-b^2＞0 なので、|y| ≦ √{a/(ac-b^2)}

したがって、不等式の解は、
[-by - √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a ≦ x ≦ [-by + √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a

これらから、∬_E dxdy
= ∫[-√{a/(ac-b^2)},√{a/(ac-b^2)}]dy
* ∫[[-by - √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a,[-by + √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a] dx
= ∫[-√{a/(ac-b^2)},√{a/(ac-b^2)}]dy
* [x]_[[-by - √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a,[-by + √{a - (ac - b^2)(y^2)}]/a]
= ∫[-√{a/(ac-b^2)},√{a/(ac-b^2)}]dy
* 2{√{a + (ac - b^2)(y^2)}/a
= 2∫[-√{a/(ac-b^2)},√{a/(ac-b^2)}][{√{a - (ac - b^2)(y^2)}/a]dy
= (4/√a)∫[0,√{a/(ac-b^2)}]{√{a - (ac - b^2)(y^2)}dy
　(∵ 被積分関数は、偶関数だから)
ここで、y = √{a/(ac-b^2)} * sinθ と置換、…
という手順で、積分の計算ができます。

お礼

なるほど。
詳しい説明ありがとうございます。

回答No.3

info22_

a>0,ac>b^2≧0よりc>0
x=(X+Y)/√(2a),y=(Y-X)/√(2c)で変数変換すれば、
楕円の標準形になります。
その標準形を
(X/A)^2+(Y/B)^2≦1 (A>0,B>0)
と置き直します。
そして更に
X=Arcosθ,Y=Bsinθ(0≦r≦1,-π≦θ＜π)と変数変換すれば
逐次積分で変数分離できて簡単に積分が実行できると思います。

まず、条件を満たす簡単なa,b,cを与えて積分をやってみると
理解出来るかと思います。

お礼

そのように変換すればよいのですね。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

http://okwave.jp/qa/q7232028.html
で十分だと思うけどなぁ....

「積分しない」とは一言も書いてないし.

補足

どのように回転させればよいかわからなかったので・・・