曲面積の積分について

質問

D=((x,y);x^2+y^2<=a^2)
上において、
z=bx^2+cy^2
の曲面積を求めたいのですが、なかなかうまくいきません。
∬D(√(1+4b^2*x^2+4c^2*y^2))dxdy
と立式できても、極座標変換で√の中身が整理されません。解法の方向性だけでも教えていただけませんでしょうか。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

x=rcos(t)/(2b),y=rsin(t)/(2c) (r>0,0≦t≦2π)と置換積分する。
√(1+4b^2*x^2+4c^2*y^2)=√(1+r^2),
dxdy=|J|drdt={r/(4bc)}drdt
I=∫[0,2abc/√(b^2+c^2)] {1/(4bc)}r√(1+r^2)∫[0,2π] dtdr
={π/(2bc)}∫[0,2abc/√(b^2+c^2)]r√(1+r^2)dr
={π/(2bc)}[(1/3)(1+r^2)^(3/2)] [0,2abc/√(b^2+c^2)]
={π/(6bc)}[{1+(4(abc)^2/(b^2+c^2))}^(3/2)-1]

お礼

その置換積分も考えたのですが、積分範囲がどう変えたら良いかに悩んで結局挫折してしまいました(- -;)
大変助かりました。どうもありがとうございました。

回答No.1

Ae610

方針は宜しいのではと思います。

∫[0,2π]dθ∫[0,a]√(1+4r^2)rdr
を計算する事になる。

お礼

ありがとうございました。