楕円の面積

質問

半径ｒの円があります。これを真上から見ます。（円のある平面を垂直方向から見る）
この時この平面を４５°回転させると（平面内ではなくて）、この円は楕円になりますよね？（目線を垂直方向から45°ずらすといえばいいのでしょうか）
x方向は変化しませんが、ｙ方向はｒよりも大きな値になると思います。
この時の楕円の面積っていくらなんでしょうか？最初の円と比べて
何倍になっているのでしょうか？
４５°だけじゃなくてθだけ回転させた時の楕円の面積ってどう表わされるのでしょうか？
できるだけ計算途中とかも詳しく教えてください。
よろしくお願いします。

それと別の質問なのですが、
例えばＡ単体元素（密度Ｎ（Ａ））とＢ単体元素（密度Ｎ（Ｂ））からなる化合物ＡＢがあるとします。
Ａの組成比をｘとするとＢの組成比は（１－ｘ）です。
この時、この物質の密度Ｎ（ＡＢ）を
Ｎ（ＡＢ）＝ｘ・Ｎ（Ａ）＋（１－ｘ）・Ｎ（Ｂ）のように
組成に応じて掛け算したものとします。
この時、この組成に応じて掛け算したこの形をなんというのでしょうか？
加重平均？でいいのでしょか？（質問の意味がわからなければ補足いたします）

回答No.4

wolv · ベストアンサー

No.2は微妙にまちがてｔるので、再投稿します＾＾；
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楕円について：
ｘ、ｙは設定されてないよー、というのはおいといて、

長軸が長く見えるのではなく、
短軸が短く見えるんですよ。

たとえば、４５度ではなく、９０度ずらして見たばあい、
（つまり、円のある平面内からみた場合）
円は長さ２ｒの線分に見えます。

一般には、

─────────────
↑　　　　　　│　　　　／
　　　　　　　│　　　／
短軸の長さ　　│　　円
　　　　　　　│θ／
↓　　　　　　│／
─────────────

図のようになりますので、
短くなる方向の見かけの半径（？）は、r cos θになります。
また、面積はcosθ「倍」になります。
４５度の時は、√(2) / 2倍、つまり、約0.707倍になります。

面積は
π ｒ^2 cosθ
です。^2は、２乗の意味だと思ってください。

もうひとつの質問は、別の質問として投稿しましょう。

お礼

ご回答ありがとうございました。
たしかに良く考えてみると、短くなるんですね。恥ずかしい。。。
見かけの半径は rcosθだからといって、面積もcosθで変化するのかどうか
すぐにぴんと来ませんでした。だけど、楕円の面積がπabということがわかって納得しました。
ご丁寧に図まで書いて説明していただいてありがとうございました。

回答No.5

good777

■円と楕円■

　円の面積は＝半径×半径×円周率
楕円の面積は＝長い半径×短い半径×円周率
です。
だから、ｒ×（ｒcosθ）×π

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■球と楕円体■

　ついでに、半径ｒの球の体積は
（4/3）×半径×半径×半径×円周率

回転楕円体（みかん型）の体積は
（4/3）×（違う半径）×半径×半径×円周率

楕円体（フットボール型）の体積は
（4/3）×（半径1）×（半径2）×（半径3）×円周率

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お礼

面積だけじゃなくて体積まで教えていただいてありがとうございました。
球と楕円体って同じような感じなんですね。
ありがとうございました。

回答No.3

eatern27

x^2/a^2+y^2/b^2=1
となる楕円の面積はπabとなります。
半径rの円は
x^2/r^2+y^2/r^2=1
となるので、面積はπr^2です。
これを45度回転させると a=r,b=rcos45°=r√2/2
となるので、面積はπr^2√2/2となります。
Θ回転させたときはa=r,b=rcosΘとなります。
面積はπr^2cosΘとなります。
厳密に言えば、πr^2|cosΘ|ですかね。

お礼

ありがとうございました。
私も自分で計算しましたが、楕円の面積はπabになりました。
楕円を回転させた時は、cosθで面積が変化するんですね。
もうちっと複雑になると思っていました。

回答No.2

wolv

楕円について：
ｘ、ｙは設定されてないよー、というのはおいといて、

４５度ではなく、９０度ずらして見たばあい、
（つまり、円のある平面内からみた場合）
円は長さ２ｒの線分に見えます。
つまり、
楕円の長軸方向がｙ方向、短軸方向がｘ方向だとすれば、
ｘ方向の長さが０になり、ｙ方向の長さは変化しません。

─────────────
↑　　　　　　│　　　　／
　　　　　　　│　　　／
見かけの半径　│　　半円
　　　　　　　│θ／
↓　　　　　　│／
─────────────

図のようになりますので、
短くなる方向の見かけの半径は、r cos θになります。
つまり面積はcosθです。
４５度の時は、√(2) / 2倍、つまり、約0.707倍になります。

もうひとつの質問は、別の質問として投稿しましょう。

お礼

ありがとうございました。
お礼は、No4の方でいたします。

回答No.1

Largo_sp

なんか宿題っぽい質問...といっておいたところで、
最初の問題は、xy平面状にある半径rの円盤をy軸上θだけ回転して
その円盤をxy平面上に投影した時の面積ですよね...
ｙ軸から円周上の各々の点までの距離をhとすると、その点が投影された点までの
距離はhcosθとなります...なので積分した結果は、2πr^2cosθとなるはずですが..（嘘かも）
後者は加重平均であってるとおもいますが....
化合物でなくて混合物ですよね.....

お礼

ご回答ありがとうございました。
仕事の都合上ちょっと知りたかったもので。。。（レポートではありません）

投影した方法でやる方法もあるんですね。初めて知りました。
結局 x^2/a^2 + y^2/b^2 = r^2 の式で、第一象現だけの場合を考えて
積分したら（x=acosθとおいて）楕円の面積を求めることができました。

加重平均で大丈夫なんですね。ちなみに化合物の密度の近似としてこれを用いました。