ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆを定数とするｘ、ｙの恒等式

質問

ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆを定数とするとき、次の等式がどのようなｘ、ｙについても成り立つ、すなわちｘ、ｙについての恒等式であるとする。
ａｘ＾２＋ｂｘｙ＋ｃｙ＾２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝０
等式の左辺をｘについて整理すると
ａｘ＾２＋（ｂｙ＋ｄ）ｘ＋（ｃｙ＾２＋ｅｙ＋ｆ）＝０
この等式はｘについての恒等式であるから
ａ＝０，ｂｙ＋＝０，ｃｙ＾２＋ｅｙ＋ｆ＝０
これらの等式は、ｙについても恒等式であるから
ｂ＝０、ｄ＝０、ｃ＝０、ｅ＝０，ｆ＝０
したがって、ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｆ＝０が得られる。との解説があったのですが最初の与えられた式をみてもａｂｃｄｅｆが０なら恒等式でわざわざこのような解説が不要のような気がするのですがなぜ必要なのでしょうか（中３）

回答No.4

FT56F001 · ベストアンサー

「すべてのxについてax^2+bx+c=0ならa=b=c=0」
は正しいのですが，なぜそうなのか，考えて見ます。

どんなxについても成り立つのだから，
x=0についても成り立つわけで，x=0を代入してc=0です。
x=1,x=-1についても成り立つので，
a+b+c=0
a-b+c=0
c=0がわかっているから，a+b=0かつa-b=0，よってa=0,b=0が導けます。

そこで「すべてのxについてax^2+bx+c=0ならばa=b=c=0」を定理として扱い，
これに従って，証明しようとしているわけです。

「すべてのx,yについて，ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
ならばa=b=c=d=e=f=0」は結果的には正しいのですが，
解説では，段取りとして
「一変数だけの恒等式にして，それぞれの係数が0だ」という論法を使って，
証明しています。「中学校数学のお約束」があるのかもしれません。

でも，直接a=b=c=d=e=f=0を導くやり方もあります。
すべてのx,yについて成り立つのだから，x=y=0について成り立つのでf=0
x=1,y=0についてなりたつから，a+d+f=0
x=-1,y=0についてなりたつから，a-d+f=0
これよりa=d=0
また，
x=0,y=1について成り立つから，c+e+f=0
x=0,y=-1について成り立つから，c-e+f=0
これよりc=e=0
最後にx=1,y=1について成り立つので，a+b+c+d+e+f=0，
他の係数は0だから，b=0
よって，a=b=c=d=e=f=0

必要ならこれを答案に書くことが出来るのなら，
「すべてのx,yについて，ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
ならばa=b=c=d=e=f=0」と覚えておいて構いません。

お礼

１変数だけの恒等式にして、それぞれの係数が０とするやり方が基本だということがわかり、また、直接解く方法もあることが理解できました。ありがとうございました。

回答No.8

B-juggler

ちょっともう一回お邪魔。

代数学の元非常勤(o｀・ω・)ゞデシ!!　（もう復帰する気がない＾＾；）
　＃十二指腸辺りに・・・　火曜日胃カメラ飲むので。。。

えっと、なんか難しくされちゃっているみたいなので、整理しましょうよ。

この問題の場合には、

ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｆ＝０　以外にｘ、ｙについて恒等式は成り立ちません。

これはどうやったって、ゆるぎないです。

偶数奇数は全く関係ないです。

係数とする式にして

＞ａｘ＾２＋（ｂｙ＋ｄ）ｘ＋（ｃｙ＾２＋ｅｙ＋ｆ）＝０

　こういうことね

どんなｘについても等式が成り立つのですから

ａ＝０　は一目。　（ｂｙ＋ｄ）＝０　（ｃｙ＾２　＋ｅｙ＋ｆ）＝０

係数を０とすれば、必ず　（右辺）＝（左辺）になるでしょう？

このときは　ｘ　について。

Ｎｏ．４さんも書かれていますが、お約束というか、常套手段ですよ＾＾；

もちろん代入しても構わないのだけど。
　＃このときは確認しておいたほうがいいんだけどね。
　＃あまりお勧めはしないけど。

ａｌｉｃｅさんの名言だけど（多分ね＾＾；）、「分かっているから証明できる」ので。

わからないことは、σ(・・*)たちも分からない。

あなたがどう分からないかがわからないから、こちらもかけない。

今そういう状況。　「恒等式とはこういうものですよ」　と、しか書けないんです。

う～ん、難しいかもしれないけど、こうやるより他に示す方法はないんだよね・・・。

もう一回になるけど、「あなたがどう思っているかが分からない」から

「σ(・・*)たちもどう答えていいのか、分からない」。

どうもこういうことになりそうです。

こうやらなきゃダメですか？　だったらもう終われます。

ダメです。これ以外にいい方法はないです。

それがなぜかといわれると、「恒等式だから」としか答えられないけどね。

なんか変なところで引っかかってるかもね？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.7

alice_44

←A No.1 補足
＞ なぜそういえるのか教えてください。

(1)「a=b=c=d=e=f=0のとき恒等式になるのはわかる」理由が知りたいのですか？
(2)「それ以外のとき恒等式でないことはわからない」理由が知りたいのですか？
(3)「模範解答のよに変形したらそれが証明される」理由が知りたいのですか？

わかるわからないは気持ちの問題なので、論理的に示すような話ではありませんが…
(3) は、模範解答そのものがその理由です。A No.1 にも書きましたが、証明とはそういうもの。
(1) は、質問文中に貴方自身が書いています。「わかる」のでしょう？
(2) も、慣れた者には自明なのですが、(1) ほどには簡単でないと思います。

いづれにせよ、わからないことだから証明するのではなく、
わかったことを書いて示すのが証明です。わからないことなど、書けるはずもない。

お礼

（２）、（３）、についてやっと理解できるようになってきました。また、よく考えてみます。
ありがとうございました。

回答No.6

hrsmmhr

オール０の解はみんなわかってます
むしろそれ以外にないのかが問われているのです

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

FT56F001

> ａｘ＾２＋ｂｘｙ＋ｃｙ＾２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝０がｘ、ｙについての恒等式ならば
> 式の変形をしなくてもａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｆ＝０といえないのでしょうか？

似てるけれど違う例を考えてみたら，簡単ではないことがわかると思います。

a,b,c,d,e,f,x,yを整数とする。

a,b,c,d,e,fが偶数なら，どんな整数x,yに対しても
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+fは偶数になる。

逆に，どんな整数x,yに対しても
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+fが偶数となるとき，
a,b,c,d,e,fはすべて偶数だと言えるか?

[答え]
bとfは偶数とわかる。
しかし，
c,eがともに奇数，a,dがともに奇数
でもよいので，
a～fがすべて偶数だとは言えない。

お礼

ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆが簡単に０とはいえないことがわかりました。ありがとうございました。

回答No.3

B-juggler

中学三年でもうこんなことやってるの？

ちょっとΣ('◇'*)エェッ!?　これは少しお邪魔しようかな。

「ｘ、ｙについて恒等式」というのは、「ｘ、ｙがどんな値をとっても式が成立する」という

意味だということは分かっているかな？

例えばね、

ｘ＝ｙ＝１　としてみると、

ａ＋ｂ＋ｄ＋ｃ＋ｅ＋ｆ＝０　ですね。

これだと、ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝・・・＝０でもいいけど、他の数字も出てくるね。

ａ＝－１　ｂ＝１　ｃ＝ｄ＝・・・＝０　とかね。

こういうことがあっちゃいけないのが恒等式です。

ａｌｉｃｅさん　（Ｎｏ．１さんね）も言われてあるけれど、

当たり前のことを当たり前に積み重ねていかないと、山にはならないんだね～。

恒等式とは！　というのが少しでも伝わればいいな。

どんなｘ、ｙ　についても　（右辺）＝（左辺）が成立すること！。

これだけでしかないけど、結構難しく思えるんですね。

ダイジョウブみんな同じ難しさを経験してきているんだからね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

a,b,c,d,e,fが０でない場合がよくわかりました。ありがとうございました。

回答No.2

f272

「ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｆ＝０」ならば「ａｘ＾２＋ｂｘｙ＋ｃｙ＾２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝０は恒等式」
というのと
「ａｘ＾２＋ｂｘｙ＋ｃｙ＾２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝０は恒等式」ならば「ａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｆ＝０」
というのは違うよ。

補足

すいません。自分が恒等式の根本を理解していないからわからないのだと思いますが、
ａｘ＾２＋ｂｘｙ＋ｃｙ＾２＋ｄｘ＋ｅｙ＋ｆ＝０がｘ、ｙについての恒等式ならば
式の変形をしなくてもａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｆ＝０といえないのでしょうか？
いえないのなら、なぜいえないのでしょうか、教えてください？

回答No.1

alice_44

アタリマエの事実を、アタリマエの理由の積み重ねで
証明するのが、数学だからです。証明とは、そういうものです。
質問の問題も、結論はほぼ自明ですが、数学である以上は、
根拠を示して証明する必須はあるのです。
a=b=c=d=e=f=0 のとき恒等式になることに比べて、
それ以外のとき恒等式でないことのほうは、やや説明の必要が大きい
ようにも思いますね。

補足

最初の与式だけではａ＝ｂ＝ｃ＝ｄ＝ｅ＝ｆ＝０のとき恒等式になるのはわかるが、それ以外のとき恒等式でないことはわからない。式を模範解答のよに変形したらそれが証明されるということでしょうか。
もしそうでしたらなぜそういえるのか教えてください。