大学での微分方程式の問題です２

質問

何度もすみません
y'=√(y/x)　を解け
という問題なのですが
答えが、x>0のときy=(√x +C)^2 , x<0のときy=-(√-x +C)^2 ,y=0
と書いてあるのです。私としては、y=0はともかくなぜxが正か負かで-がついたりつかなかったりするのかがわからなかったので、この問題の解答への過程などの説明をよろしくお願いします。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

＞y'=√(y/x)　を解け
＞私としては、y=0はともかくなぜxが正か負かで-がついたりつかなかったりするのかがわからなかったので

・微分方程式で扱う関数は、実数関数
　(少なくとも、普通の微分方程式の教科書の守備範囲では)
・実数範囲の話なら、√a とあれば、a≧0、かつ、√a≧0
　(この範囲での√aは、a=0なら、0、a＞0なら、正負２つある平方根のうち、正の方)

この２つが前提なので、y' = √(y/x) は、
・x＞0なら、y/x≧0より、y≧0、
・x＜0なら、y/x≧0より、y≦0、
と考えないといけない。

つまり、√のあるときは(絶対値があるときも)、
こういう場合分けが必要になることがあるので、要注意、ということです。

これを踏まえて、説明を挟みながら、過程を示すと、次のような感じかと思います。
試験の答案なら、もっと端折れる部分もありますが、かなり細かくステップ踏みました。

微分方程式は、高校・大学入試の数学記述問題の答案や、
大学教養数学の他分野に比べ、かなりアバウトな書き方をしても
許されることが多いのですが(結果的に解けてりゃOKという面も強いというだけでなく、
余り、厳密性にこだわり出すと、答案が無茶苦茶に長くなってしまうことがあるので)、
中には、自分の流儀でないと許してくれない細かい先生もいないではないので、
先生本人・教科書・先輩などに、端折れっていい範囲や、任意定数の文字の置き方
などを、確認しておいた方がいいことも。

・y=0のとき、(は、微分方程式では、普通、常にy=0の意味)
　y' = √(y/x) = 0、y=0を微分しても、y'=0、
　つまり、元の微分方程式を満たしている。
　(というのは説明用、y=0はy'=√(y/x)を満たすので、解の１つ、くらいで十分)

・x＞0のとき、y' = dy/dx = √(y/x) (y≧0)
　dy/√y = dx/√x、
　∫dy/√y = ∫dx/√x、
　((√x)' = (x^(1/2))' = (1/2)x^(-1/2) だから、∫dx/√x = 2√x + C なので)
　2√y = 2√x + C (積分定数は、片方だけにつける)
　√y = √x + C/2、
　y = (√x + C/2)^2
　Cは任意定数なので、C/2をCと置き直すと、
　y = (√x + C)^2

・x＜0のとき、y' = dy/dx = √(y/x) = √{(-y)/(-x)} (y≦0)
　dy/√(-y) = dx/√(-x)
　(こうしないと、√の中身が負になってしまう)
　∫dy/√(-y) = ∫dx/√(-x)、
　((√(-x))' = ((-x)^(1/2))' = -(1/2)(-x)^(-1/2) だから、∫dx/√(-x) = -2√(-x) + C なので)
　-2√(-y) = -2√(-x) + C (積分定数は、片方だけにつける)
　√(-y) = √(-x) - C/2、
　-y = (√(-x) - C/2)^2
　Cは任意定数なので、-C/2をCと置き直すと、
　y = -(√x + C)^2

お礼

とてもわかりやすくてすごく参考になりました。ありがとうございました！この解説を何度も見直して復習したいと思います！ありがとうございました。

回答No.3

ferien

No.1です。

y'=√(y/x)　から、ルートの中は正なので、ｘ＜０のときは、ｙ＜０
だから、y'=√(-y/-x)として解いているのだと思います。

√-y＝√-x＋Ｃ　となって、２乗して
－ｙ＝（√-x＋Ｃ）^2
ｙ＝－（√-x＋Ｃ）^2

となったのではないでしょうか？

お礼

わかりやすい説明で、助かりました。何度も回答いただいてありがとうございました！

回答No.1

ferien

>答えが、x>0のときy=(√x +C)^2 , x<0のときy=-(√-x +C)^2 ,y=0
ｘ，ｙが実数だとすると、ルートの中は正でなければならないので、
ｘ＜０のとき、－ｘ＞０となるのではないでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました。おっしゃった所は理解できました、ありがとうございました。しかし、かっこの外にも-がついているのですが、ここもよくわからないのです・・・