数学オリンピック 2005年5番

質問

それぞれをa,b,cとおく。a<b<c
12(a+b+c)=abc
変形させると12+(12/a)^2=(b-12/a)(c-12/a)
となると解説に書いてあったのですが
どういう風に考えてこう変形させたのですか？

また、上の意味がわからないが
解答解説はわかるという方は
そちらをおねがいします！！

回答No.1

Tofu-Yo · ベストアンサー

ちょっと自信がないですが、自分ならこう始めます。
a＜b＜cとおくと、a＋b＋c＜3c⇔12(a＋b＋c)＜36c
∴abc＜36c⇔ab＜36
∴a^2＜36⇔a＜6
∴1≦a≦5
ここで、a=5のときは、b=6または7で、いずれもcが整数とならないため、結局、
1≦a≦4
となる。

ここまで絞っておいてaの候補がすべて12の約数であること、つまり12/aが整数であることに注目して
12(a+b+c)=abc
を変形すると、

12+(12/a)b+(12/a)c=bc
12=bc-(12/a)b-(12/a)c
12+(12/a)^2=(b-12/a)(c-12/a)
こうすれば、各a（1≦a≦4）に対して左辺は定数ですので、その分解によりb、cを割り出していけます。

うーん神業の変形ですね…いくら積の形にしたいと思っていてもなかなか思いつきませんよね。
今回の場合はa=5は2通りしかないのですぐに確かめられること、それ以外は単に列挙すると大変ですが12の約数なので12/aを整数として扱えることに気づくかどうか、ですかね。

ただ、整数問題で積の形に変形するということ自体は常套手段みたいです。少し似た問題で
「abcdef=a+b+c+d+e+fを満たす正整数の組み合わせをすべて挙げよ」
というのを高校のときにやった記憶があります。
a≦…≦fとしてaの範囲を限定するところまでは上記と同じ手法です。参考まで。

お礼

ありがとうございます！凄くわかりやすくて助かりました。また大学受験のためにもなりました！本当にありがとうございました！