円の問題

質問

円ｘ＾２＋ｙ＾２＝１の周上の１点における接線が
放物線ｙ＝(ｘ'2/6)＋１と共有点を持たない時、接点は円周上のどんな範囲にあるか？

⇔この問題解りません！　
まず始めに私は
（ｘ、ｙ）＝（０．０）半径は１の円を書きました、
その時、この円に接点がまず一つあって、そしてそこに一本直線が、つまり接線が伸びていて
その線が、ｙ＝(ｘ'2/6)＋１と共有点を持たない時と考えました。つまり接線は、ｙ＝(ｘ'2/6)＋１とはぶつからない？という事だと思いました。

質問ですけど、どうやれば接点の円周上の範囲がもとまるのですか！？＞＿＜　
範囲ってことは相加相乗平均とか使うのですか？？
不等式とか問題には書いてませんし、きっと自分で範囲分けをすると思うのですけど、私には解りません＞＿＜
誰か教えてください。

回答No.3

noname#17965 · ベストアンサー

解答方針：
まず接線の式を求める。接線と放物線が共有点を持たないというのは、言葉を変えると、接線と放物線の式を連立方程式にしても実数解が存在しないということなので、その条件を求める。。。。ここで「判別式Ｄ」が頭に浮かぶでしょう？？

接点の座標をA(x0,y0)とすると、
接点Ａは円上の点なのでx0^2+y0^2=1

次に接線の式を求めます。
「円x^2+y^2=1上の点A(x0,y0)を接点とする接線の式は、
　x0*x+y0*y=1」
これ、習いましたか？こういう定理があります。

さて、接線と放物線
x0*x+y0*y=1
y=x^2/6+1
これを連立させて解を探します。。。。って解が無い条件を探すんですけどね。
ｙを消去してx0*x+y0*(x^2/6+1)=1
これ、xの2次方程式です。共有点を持たない⇔２時方程式の実数解が無い⇔虚数解である⇔判別式Ｄ＜０

後はイモヅル式に解が出るでしょう。計算してみて下さい。

それと一つ重要なことがあります。判別式Ｄは２次方程式にしか使えません。y0=0だったらどうなりますか？xの１次式になるので判別式Ｄは使えません。y0=0の時に共有点があるかどうかは別な方法で調べる必要があります。図を書けばスグ分かります。解答も図より明らかに、○○、、としてよいと思います。

お礼

ありがとうございました♪

回答No.4

oyaoya65

#1です。
質問者さんが回答者の皆さんのヒントを参考に解答を作成していただき、回答の補足で、解答の大筋を示しください。

追加ヒント
解答が完成した場合の参考に
接点の円周上での存在範囲が
|x|＜4/5, y＜-3/5
と出れば正解です。

分からない場合は回答の補足で質問してください。

お礼

ありがとうございました♪

回答No.2

at9_am

> 円に接点がまず一つあって、そしてそこに一本直線が、つまり接線が伸びていて
> その線が、ｙ＝(ｘ'2/6)＋１と共有点を持たない時と考えました。つまり接線は、ｙ＝(ｘ'2/6)＋１とはぶつからない
という基本方針は正しいですよ。

円周上の点は
x=cos z
y=sin z
と書き表すことが出来ます。ここで、z は反時計回り方向で測った x 軸との角度です。
接線は原点と(x,y)を結んだ直線と直角になりますから、傾き a=-cos z/sin z になります。
ここから
y = a(x-cos z) - sin z
が接線の方程式になります。

これを
y=1/6 x^2 + 1
に代入して、実数解を得られない範囲（判別式を使えば簡単）を求めれば良いです。

お礼

ありがとうございました♪

回答No.1

oyaoya65

ヒント
接線の方程式y＝ax+bと放物線の方程式ｙ＝(x'2/6)＋１が共有点を持たないということは
yを消去した
ax+b＝(x'2/6)＋１
が実根を持たない条件になります。
つまり判別式が負ということです。

お礼

ありがとうございました♪