円のベクトル方程式の問題について

質問

平面上でc→を定点Ｃの、p→を動点の位置ベクトルとする。円周|p→-c→|=r上の点p1→における接線の方程式は(p→-c→)・(p1→-c→)=r^2、で表されることを証明せよ。という問題で 解答をみると接線上の動点をPとすると、

p→-p1→とp1→-c→は垂直だから

とありますがなぜそうなるのですか？|p→-c→|=rという関係からp→は必ず円周上にありp1→は接点だからこれも円周上にあります。もしp→-p1→が円と交点をもたないならp→-p1→=0→としか考えられないのですが。間違って解釈しているかもしれないのでどなたか教えていただけないでしょうか？

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

もしかして過去にあったこの質問と同じような。
http://okwave.jp/qa/q5746796.html

ご参考まで。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5746796.html

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の補足について

>交点をもたないとは交点ではなく接点をもつという意味です。

その意味ならそうだと分かるように書かないと採点者に誤解されてしまいます。
普通は、直線と曲線が交点を持つか、交点を持たないかのどちらかに接点を持つ場合を含めるなら、交点を持つ方に接点を持つ場合を含めると思います。
確実な表現をしないと減点などされて損をするのは自身です。減点されないように注意しましょう。

回答No.1

info22_

>p→-p1→とp1→-c→は垂直だから
>とありますがなぜそうなるのですか？

「p→-p1→」を接線ベクトル、「p1→-c→」が円の半径ベクトルなら
この2つのベクトルは直交するのは当然じゃないですか？

>|p→-c→|=rという関係からp→は必ず円周上にあり
「|p→-c→|=rという関係」はありません。
問題文をよく読めばこれは「p1→」の説明です。
仮に関係があれば円周上の点ですが…。

>p1→は接点だからこれも円周上にあります。
「これも」ではなく「これは」です。

>もしp→-p1→が円と交点をもたないならp→-p1→=0→としか考えられないのですが。
「p1→」で円と交点を持っているじゃないですか？
的外れな質問です。

>間違って解釈しているかもしれない
そう間違ってます。問題文をよく読まないことによる早とちりが原因でしょう。
次の説明文を読み間違えた事が間違いの原因です。
>円周|p→-c→|=r上の点p1→における接線
この「p→」は一般的な動点の位置ベクトルで
≪「円周|p→-c→|=r上の」点p1→ ≫の「　」の部分は「点p1→」にかかる説明であって
「|p→-c→|=r」は接線上の動点p→が満たす関係ではないですよ。ここを勘違いされてるようです。

補足

なるほど！僕は｜p→－c→｜＝rを満たすp→の奇跡＝円、というようにとらえてしまったと言うことですね。ちなみに交点をもたないとは交点ではなく接点をもつという意味です。