楕円の２本の直交する接線が引けるような点の軌跡は円

質問

抽象的な質問になってしまうのですが、お答えいただければ幸いです。

ある楕円に対して２本の直交する接線が引けるような点の軌跡は円である。というのは、理系の方なら(?)有名かと思います。

ㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤㅤ

簡単な方針としては2つの接線が直交することから傾きの積が－1を使うと思うのですが

接線がy軸またはx軸に平行なときは、数学的にどう考えますか？

分かりやすく画像添付します。

回答No.2

gamma1854 · ベストアンサー

楕円 C:x^2/a^2+y^2/b^2=1 の外部の点P(α, β) から傾きｍの直線 y-β=m(x-α) をひくとき、これが楕円の接線になるには、代入してｙを消去し、x-α=u としてまとめて、
(b^2+a^2m^2)u^2+2(αb^2+βa^2m)u+(bα)^2+(aβ)^2-(ab)^2=0.
において、判別式D/4=0 となることです。すなわち、
(a^2-α^2)m^2+2αβm+b^2-β^2=0...(*)
がなりたちます。
1) a^2-α^2≠0 のときは、2実解の積がー１であることから...(*)より、
a^2+b^2=α^2+β^2,
★次が質問点と思います。
2) a^2-α^2=0 のときは、α=±a.
このとき接線の１つは x=a, (x=-a) ですからもう１つの接線は x
軸に平行になり、
P(±a, ±b), (複号は任意)
となります。

お礼

ここにまとめてお礼をさせて頂きます。ご回答してくださった方ありがとうございました。感謝申し上げます。

回答No.1

f272

接線がy軸またはx軸に平行なときというのは，図で言えば接点が(a,b)，(-a,b)，(-a,-b)，(a,-b)のときだよね。これらの点は円x^2+y^2=a^2+b^2にあることは明らかです。

補足

ご回答ありがとうございます。

疑問に思ったのが、グラフはイメージなので、わかりやすい反面

2つの接線が直交することから傾きの積が－1を使うという論理が使えないので、質問させていただきました。