接線と円周上の点から円の方程式を求める

質問

数学の課題で、円周上のある点とその円の接線２本(x軸、y軸ではありません)から円の方程式を求める問題が出ました。
円の方程式から円の接線を求めるのならすぐに分かるのですが、逆となると全く解法が見つからず途方に暮れています。
解法でなくてアドバイスやヒントでもいいのでぜひ教えてください。

回答No.8

Tacosan

えっと....
多分, #7 の方針がベストです. あ, 「2直線から等距離」を使わないと得られる式が絶望的に難しくなるかも.

回答No.7

masuda_takao

No.3 さんの方針で、接線の処理に関する別解を一つ。
　円の中心と各々の直線の距離は円の半径に等しいので、点と直線の距離の公式を使えば２次方程式の重解条件を使わなくても良いですね。

お礼

これでやると式の右辺が全てr^2になるので式が少し簡単になりそうです。回答ありがとうございます。

回答No.6

komimasaH

中心が（A,B)にある半径ｒの円の方程式をまず書きます。
円周上のある点をその式に代入します。
円の方程式をｘで微分します。
ｄｙ／ｄｘに接線の傾きを代入します。２つ
ｘ、ｙには接線の接点を代入します。これも２つ
それで、３つの式ができますので、Ａ，Ｂ，ｒが
求まるのではないでしょうか。

お礼

このやり方は考えていませんでした。
ただ、今回の場合接点が分かっていないので、仮に接点を(x1,y1)、(x2,y2)のように置いてやってみることにします。

回答No.5

Tacosan

#3 です.
最後のところに「あんまり使えないかなぁ」と書いたんですが, 直感には使えそうですね.
つまり, 求めたい円の中心は「点と直線から等距離にある点」であって, その軌跡は放物線になります. 一方, 「2直線から等距離にある点」でもあり, その軌跡は 2直線がなす角の 2等分線となります. 結局求める円の中心は放物線と直線の交点となります. つまり, 2個の円が求まるはずです.

お礼

式だけでなく図形的に考えることも重要なんですね。
適当に定数を置いてグラフ化して考えてみます。

回答No.4

noname#47050

「円周上のある点」は接点とは限りません。なので回答１，２は誤りです。正解は回答３の通りです。

お礼

やはり不定数３つの連立方程式を解くという形になりますか…頑張ってみます。

回答No.3

Tacosan

多分, これができないってことは「円の接線」などが完全には理解できてないってことなんだよといいつつ, がんばって方程式を解いてみる方針:
１．円の方程式を仮定する: 未知数は中心の座標と半径の 3個.
２．与えられた点を通るという条件を入れる: これで方程式が 1本できる.
３．与えられた直線と接するという条件を入れる: これで方程式が 2本できる.
４．合計 3本の方程式があって, 未知数が 3個だからがんばれば解けるはず.
あ, 気付けば簡単だけど「接する」=「連立方程式が重解を持つ」ということで.
ちなみにちょっと図形の知識があれば, 「2直線に接する円の中心は, その 2直線のなす角の 2等分線上 (2本あります) にある」ということがわかります. あんまり使えないかなぁ?

お礼

回答ありがとうございます。自分のメモを見直してみたら４の所で止まっていたので、どうも連立方程式が解ける解けないの問題のようです。これは頑張るしかないですね…

回答No.2

ht1914

＃１のご回答は実際に作図で円を求めるときに使うものです。

１行目は「接点で半径と接線は垂直になっている」ということです。

数学というと式で何でも出ると思っておられるのではないですか。一度作図してみられるといいと思います。

２本の平行でない線を引きます。その上に適当な点を一つずつ取ります。その点を円周上の点、２本の直線が接線であるとして円を作図で求めてみて下さい。

お礼

「接点で半径と接線は垂直になっている」ということは分かるのですが…すみません、私の言葉が足りなくて、言いたいことがうまく伝わらなかったようです。
ある点というのは接線上の点でも接点でもなく、単なる円周上の点です。
貴重な時間を割いて頂いたのに申し訳ありません。

回答No.1

zk43

そのある点を通って接線に垂直な直線は円の中心を通ります。
よって、その２本の接線に垂直な直線の交点が円の中心になります。
半径は簡単に求められるでしょう。

お礼

１行目の意味がよく分からなかったのですが、２本の接線それぞれの法線の交点が円の中心で、その中心からある点までの距離が半径ということでしょうか？
これなら求められそうです。早速やってみることにします。

素早い回答ありがとうございました。