円柱表面上における接線について

質問

例えば、1枚の用紙(平面Π)の上に円を書いて、その円を C、C の中心をO、Cの円周上の任意の点をP、Pにおける円Cの接線をLとします。

そして、中心O から平面Πの法線ベクトル方向に円を積み重ねていくと(同じ円を書いた用紙を積み重ねていくイメージ)、底面を円Cとした円柱ができると思います。

この時、接線Lは円柱の表面上Pにおける一つの接線だと思うのですが、このLを 直線OP(Oを基点にPを通って、無限彼方へ伸びる直線)を中心に360°任意に回転してもそれは全て円柱の表面における、点Pを通る接線と呼べるのでしょうか?

(これが、円柱ではなく 球表面における任意の点Pを通る接線なら、そのLを球の中心OからPを通る直線を中心に360°、どのように回転しても接線と呼べると思うのですが、円柱の場合イメージができません)

回答No.5

Drunk · ベストアンサー

断面（のエッジ）を数式的に求めてもいいのですが、
視覚的には、円筒部分を持つ酒瓶などに半分くらい水を入れて、それを傾け、その水面の形状をご覧になれば直感的に理解しやすいかもしれません。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
なるほど。酒瓶のイメージ、非常に参考になりました。私も以前、悩んで挫折したときは、ちくわを斜めに切ったらとか、巻き寿司を... なんて色々考えて結局諦めました^^)

回答No.6

y_hiroaki

面白い問題ですね。直感的なイメージについてはいろんな方が回答されており、付け足すべき部分は見つかりませんでしたので、回転後のＬが楕円の接線になっていることを数式的に示してみます。
（以下、断りなしに用いる記号はwohaoketeさんの質問文にある記号と同じものをさすこととします）

-----------------------------------
右手系にxyz空間をとる。

領域Ｃ：x^2+y^2≦r^2……(1)
直線ｎ：z=0,x=ρ（-r≦ρ≦r）……(2)
直線Ｌ：z=0,x=r……(3)

とする。（ρ=rのとき、ｎはＬと一致する）
直線ｎを原点からｘ軸に向かって見たときに、時計回りに見えるように
φ（≠π/2,3π/2）回転させた直線をｍとする。
そうすれば、ｍは実数a=Arctanφを用いて
ｍ：z=ay,x=ρ（-r≦ρ≦r）……(4)
と書ける。今、(4)を-r≦ρ≦rの範囲で動かしたときの、(1)と(3)の共通部分Ｄを考える。

x=ρを固定したとき、(1)より
-sqrt（r^2-ρ^2）≦y≦sqrt（r^2-ρ^2）……(5)
従って、(4)より
-asqrt（r^2-ρ^2）≦z≦asqrt（r^2-ρ^2）……(6)
が分かる。

よって、Ｄ={(x,y,z)|-r≦x≦r,(5),(6)}が得られる。

ここで、x-y平面をｘ軸を中心に直線ｎと同じ方向にφ回転させた平面をx-t平面とする。

このとき、(5)、(6)より、Ｄはx-t平面では

Ｄ＝{(x,t)|-r≦x≦r,-sqrt(1+a^2)(r^2-x^2)≦t≦sqrt(1+a^2)(r^2-x^2)}……(7)

と表現される。(7)より、(t,x)が満たす関係式は、

t^2≦(1+a^2)(r^2-x^2)……(8)
これを整理して、
t^2/{(1+a^2)r^2} + x^2/r^2 ≦ 1……(9)

が得られる。(9)は長軸2rsqrt(1+a^2)、短軸2rの楕円内部である。
一方、ｍはx-t平面では、x=rと表現できる。
従って、ｍと(9)の外周（境界）は、Ｐ(x,t)=(r,0)で接することが分かる。
-----------------------------------

以上で実際に断面の境界が回転後のＬに接することが分かりました。

なお、wohaokeleさんは「底面を円Cとした円柱」をつくるとしていますが、上記では、「中心O から平面Πの法線ベクトル方向に円を積み重ねていく」ときに、「法線ベクトルの逆ベクトル方向」にも円を重ねていくことにしています。
そうしないと、断面は楕円にはならず、楕円をその短軸で切ったような図形になるからです。上記にあわせて数式で言うと、
Ｄ＝{(x,t)|0≦x≦r,-sqrt(1+a^2)(r^2-x^2)≦t≦sqrt(1+a^2)(r^2-x^2)}
です。この場合もたしかに回転後のＬは楕円に接すると言えなくもないのですが、（直線を半楕円の弧に常に接するように保ちながら、その接点を半楕円の角に限りなく近づけることを想像してください）どうも気持ち悪いので、上記のように問題を変更しました。本質的には変わりはありません。

回答No.4

info22

#1です。
質問の補足解答です。

>楕円の接線になっているのかどうかが中々イメージできなかった訳です。
>どうなんでしょうね? 実際にそうなっているのでしょうか? それとも私の思い込みからがそもそも間違っているのかな??
P点での接線を360度回転してできる平面が接平面となっていますので、P点を通る接平面に直角な切断面で切断してできる断面図形の楕円と接平面の断面のP点を通る直線は接線の関係にありますね。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
そうですよね。確かにそこに接平面と呼べるものができるんですよね(良かった^^)。
という事は、少しましな実装に変更できそうです。

## ちなみに、「接平面」って一般的な考え方としてあったんですね。何も知らずにソフト上でOPからe3を求めLからe1を求め、それらからe2を求めてこのe1とe2の組を返す関数の説明を「接平面を求める」としていました。これをそのまま応用できそうです。

回答No.3

Drunk

直線OPを中心にX°（≠90°,270°）だけ回転したときに、直線Lと直線OPを含む平面による円柱の断面は楕円になります。Lはこの楕円に接しているとも言えます。
イメージできますか？

お礼

ご回答ありがとうございます。

> 直線Lと直線OPを含む平面による円柱の断面は楕円になります。Lはこの楕円に接しているとも言えます。

すいません。まさにそこが私にはイメージできません。上記はなぜそのように言えるのか、もしよろしければ教えていただけないでしょうか?

## もしも、これがそう言えれば、#2さんのお礼に記事したプログラム上で、もう少し賢い実装ができそうでありがたいのですが...

回答No.2

sunasearch

円柱の側面上の、上下の境界を除く点であれば、いくら回転させても（９０、２７０度を除く）接線になりますが、

底円との境界上の点においては、１度でも回転させると接線ではなくなると思います。

接線の定義を下記URLに示しておきます。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E7%B7%9A

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご紹介頂いたページの定義、非常に参考になりました。
実は、既にプログラムで、この360°任意方向の接線を求めるために、特に定義も調べず適当に実装していたのですが、(方法はマヌケですが)一応定義からは外れていなさそうで安心しました。

回答No.1

info22

丁度90度、270度回転したときは、完全に円柱面に重なってしまいますので、これら場合を除けば、接線と呼べると思います。画用紙で円筒を作り、箸などの棒を置いて回転させてみればイメージが湧くと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

> 箸などの棒を置いて回転させてみればイメージが湧くと思います。
そうですね。私もそれはイメージできました。

私の記述が良くなかったのですが、質問でイメージできないとしたのは、本当は次のような意味でした。

例えば 接線Lを 45°傾けたとき、それで円柱を切断すると、その切断面は楕円になると思います。そうすると、その 45°傾けた線Lが 円柱表面の接線と言うからには、この切断面の楕円でも、その円周上のP点における接線と言えないといけないのかな? と勝手に思っていたのですが、果たしてそのLが本当にその楕円の接線になっているのかどうかが中々イメージできなかった訳です。

どうなんでしょうね? 実際にそうなっているのでしょうか? それとも私の思い込みからがそもそも間違っているのかな??