高1の数学の問題です。

質問

教えてくださいm(_ _)m

√6が無理数であることを用いて.3√2－2√3が無理数であることを証明せよ。

回答No.2

noname#146456 · ベストアンサー

典型的な背理法による証明問題です。

3√2-2√3が有理数であると仮定すると互いに素な整数p,q
に対して

3√2-2√3=p/q

とおけます。

この両辺を2乗すると

18+12-12√6=30-12√6=(p/q)^2
∴12√6=30-(p/q)^2=(30q^2-p^2)/q^2
∴√6=(30q^2-p^2)/12q^2…(*)

となります。

するとpとqは整数なので30q^2-p^2と12q^2も整数になります。
よって(*)の右辺は整数の分数になるので有理数になります。
しかしこれは√6が無理数であることに矛盾します。

よって仮定は誤りであることになり3√2-2√3は無理数となります。

回答No.1

MarcoRossiItaly

(3√2－2√3)が有理数なら、p、qを整数として

3√2－2√3=q/p

と置くことができるはずなので、

(q/p)^2=30-12√6
∴√6=(30p^2-q^2)/12p^2

となります。
(30p^2-q^2)と12p^2はいずれも整数であるため、√6が無理数であるということに矛盾しますね。
なので(3√2－2√3)も無理数でないといけないんではないかと。