数学A 背理法

質問

√３が無理数であることを用いて、√３＋√５が無理数であることを証明せよ。

背理法を用いて証明するらしいのですが、
√３＋√５＝ｎ/ｍ　（但し、ｍとｎは互いに素である整数）
とおいていいんですか？
このあとが分からないのですが…
できれば背理法を用いる方法を知りたいのですが、
ほかの方法があればそちらでもいいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

√3+√5=n/m
√5m=n-√3m
5m^2=n^2-2√3mn+3
√3=(n^2-5m^2+3)/(mn)
この式は、√３が無理数であることに反します。

お礼

なるほど…移項するんですね

補足

ありがとうございます。

回答No.3

Ginzang

>√３＋√５＝ｎ/ｍ　（但し、ｍとｎは互いに素である整数）
と仮定して始めると、次のように矛盾を示せる。

√5 = n/m - √3の両辺を2乗し、
5 = (n/m)^2 - √3(n/m) + 3
よって、これを変形し
√3 = (n/m) - 2(m/n)
= (n^2 - 2m^2)/mn
よって、√3が有理数であることになってしまう。

故に、√5 + √3は無理数である。

お礼

ありがとうございます。
やっぱり
√５=…
の形にしなくちゃいけないんですね

回答No.2

alice_38

x = √3 + √5 と置いては、どうでしょう。
√5 = x - √3 の両辺を二乗して、整理すると、√3 = (x~2 - 2)/(2x) となります。
x が有理数だと仮定すると、
右辺が有理数となって、
√3 が無理数であることに矛盾します。
よって、背理法により…

お礼

必ずしも分数でおく必要はないんですね？
ありがとうございます