積分で面積の出し方がわかりません。

質問

積分で面積の出し方がわかりません。
・y=x^2
・y=-2x-1
・y=6x-9

この曲線と２直線で囲まれた部分の面積の出し方がわかりません。
曲線と直線の場合はわかるのですが、

お願いします。

回答No.4

lord2blue · ベストアンサー

グラフに書いたらわかりますよ。

与式の直線はどちらも曲線の接線になっています。
・y=-2x-1はx=-1における、
・y=6x-9はx=3における、
接線です。

(曲線との連立方程式を立てて解いてもわかります)

二つの直線の交点はですかね。

そうすると、与式のグラフは
(-1,1)(1,-3)(3,9)の三点でそれぞれ交わるので
そこに囲まれる面積が出ます。

次に積分の式を立てるのですが、ｘについて積分するのが無難です。

-1≦x≦1の範囲ではy=x^2とy=-2x-1に挟まれていて、
1≦x≦3の範囲ではy=x^2とy=6x-9に挟まれていますよね。
(どちらも常にy=x^2より上には範囲はありません)

なので積分式としては

　　1
　∫(x^2)-(-2x-1)dx　
　　-1
　　3
＋∫(x^2)-(6x-9)dx
　　1

です。

答えは…16/3かな？

お礼

ありがとうございます。非常にわかりやすかったです。
交点を境目に二つに分けて積分して面積を求めればよろしかったのですか。

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

とにもかくにも、まずはグラフを描いてください。
話はそれからですよ。＾＾

お礼

グラフは書いたんですが、どこで範囲を区切るのかわかりませんでした。
２つの接線の交点は(1,-3)なので・・・

回答No.2

info22_

>この曲線と２直線で囲まれた部分の面積の出し方がわかりません。
この表現だけでは不十分ですので回答不能です。平面上の線分や曲線（の一部）で囲まれた領域を指定しないと面積は求められません。
曲線と直線や座標軸で囲まれた領域を書かないと面積が確定しません。
問題を正確に書きなおしてください。

たとえば
y=x^2とx=a(a>0)で囲まれた領域の面積
y=x^2とx=a,x=b(0<a<b)とx軸で囲まれた領域の面積
y=x^2とy=x+a,y=x+b(0<a<b)で囲まれた領域の面積
などと具体的に書いて下さい。

回答No.1

Kules

曲線やら直線で囲まれた部分を出す問題では、よく
∫(左端の交点から右端の交点まで)(グラフ上で上にあるやつ－下にあるやつ)dx…(＊)
を使いますよね？(∫dyをメインで使ってます！みたいな人はあまりいないと思います)
これは、これを計算する問題ではたいていyがxの関数で表わされているため、
その方が都合がいいからだよ、ということが言えます。
で、(＊)を特に２次関数と直線で囲まれた部分の面積を求める時に限り
公式があるのですが今回はそれは使えません。(グラフを描けばいつもと様子が違うのはわかると思います)
で、面積を出す時にxで積分するのなら、「曲線と直線で囲まれた部分」という言葉に実は
「曲線と直線(とy軸に平行な直線)で囲まれた部分」と解釈するとわかりやすいような気がします。
面積求める時はxの端っこから端っこまで(今回で言うと-1から3かな？)で一度にしたいのは山々ですが、その途中で様子が変わってしまう時(今回のように、途中に直線同士の交点があるとか)は、そこを通ってy軸に平行な直線を引き、積分するエリアを分けてやると計算することができます。

長文失礼しました。参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。
y軸を移動する？ようなやり方はわかりませんでした。