微分方程式

質問

(d^2y/dx^2)+2(dy/dx)+y=e^(-x)
条件：x=0のとき、y=0, dy/dx=0

上の微分方程式がどうしても分かりません。
すごく簡単な問題だと思いますが、悩んでいます。
分かる方、教えていただきたいですm(_ _)m

回答No.3

keyguy · ベストアンサー

すみません、よくわからないです＞＜
展開してみたものの、どうしてよいか分かりませんでした・・・:

ｅ＾（－ｘ）・（ｄ／ｄｘ）＾２（ｅ＾（ｘ）・ｙ（ｘ））
＝ｅ＾（－ｘ）・（ｄ／ｄｘ）（ｅ＾ｘ・ｙ’＋ｅ＾ｘ・ｙ）
＝ｅ＾（－ｘ）・（ｅ＾ｘ・ｙ”＋２・ｅ＾ｘ・ｙ’＋ｅ＾ｘ・ｙ）
＝ｙ”＋２・ｙ’＋ｙ
です。
これは問題の左辺そのものですね。
以上から問題の方程式は

ｅ＾（－ｘ）・（ｄ／ｄｘ）＾２（ｅ＾（ｘ）・ｙ（ｘ））＝ｅ＾（－ｘ）
すなわち
（ｄ／ｄｘ）＾２（ｅ＾（ｘ）・ｙ（ｘ））＝１
と全く同等ということになります。
これを解くのはは簡単ですね。
一気に答えは求まり

ｅ＾（ｘ）・ｙ（ｘ）＝ｘ＾２／２＋ａ・ｘ＋ｂ
すなわち
ｙ（ｘ）＝（ｘ＾２／２＋ａ・ｘ＋ｂ）・ｅ＾（－ｘ）
任意定数ａ，ｂは初期条件から求まります。

お礼

再度ご回答ありがとうございます！！

丁寧に書いて下さってありがとうございますm(_ _)m
計算してみると、a=0,b=0　で、
y=(x^2*e^-x)/2 になりました！
No.2の方の解き方でもこうなりましたが、あまり自信がありません・・・
合ってるとよいのですが。。。

回答No.5

ryn

もう解決しているようなので蛇足になりますが、

exp 関数は微分すると
　(d/dx)e^(-x) = - e^(-x)
のようにもとと同じような形が出てくることから、
　y = f(x)*e^(-x)
とおいて f(x) を求めるというのも方針のひとつです。

お礼

ご回答ありがとうございます！！

なるほど、そのようなやり方もあるんですね！
やってみようと思います。

回答No.4

keyguy

y=(x^2*e^-x)/2 になりました！
No.2の方の解き方でもこうなりましたが、あまり自信がありません・・・
合ってるとよいのですが。。。：

y=(x^2*e^-x)/2
と書くと誤解を受けます。
y=(x^2*e^（-x）)/2
とすべきです。
y=x^2*e^（-x)/2
と書いたほうが見やすいですね。
または
y=e^（-x)＊x^2/2
と書いてもいいでしょう。

お礼

急いで書いたもので、、、すみませんm(_ _)m
今後、気をつけます。

これでやっと先に進めます！！
夜遅くまでお付き合いして頂いて、本当にありがとうございました！

回答No.2

mmky

参考程度に

(d^2y/dx^2)+2(dy/dx)+y=e^(-x)
条件：x=0のとき、y=0, dy/dx=0

(D＾2+2D+1)y=e^(-x)
と置いて、
η=e^(-x)/(D+1)＾2 =e^(-x)/(-1+1)＾2=e^(-x)/0
では困るので、分母がゼロにならないように、
左右で2回微分しておくと、
φ(D)=(D＾2+2D+1)
φ''(-1)=2,
{φ(-1)=φ'(-1)=0 故 }
だから特別解は、
η=x＾2*e＾-x/φ''(-1)=(x＾2*e＾-x)/2
一方
(D＾2+2D+1)y=0, D=-1 :重根から
y=(C1+C2*x)e＾-x
で求める一般解は、
y=(C1+C2*x)e＾-x+(x＾2*e＾-x)/2
これに条件：x=0 のとき、y=0, dy/dx=0
を入れるということですね。
そんな感じですね。

お礼

ご回答ありがとうございます！！

特別解がよくわかってなかったみたいです＾＾；
y=(C1+C2*x)e＾-x+(x＾2*e＾-x)/2
に条件：x=0 のとき、y=0, dy/dx=0
を入れると、C1=0、C2=1となり、
最終的に　y=xe^-x+(x^2*e^-x)/2 となりましたが
合ってるのでしょうか？？

すみません、数学苦手なもので・・・

補足

お礼のところに書いてるのは間違いです！

計算したら、y=(x^2*e^-x)/2　になりました。

回答No.1

keyguy

問題の左辺は次の式と同じです。
ｅ＾（－ｘ）・（ｄ／ｄｘ）＾２（ｅ＾（ｘ）・ｙ（ｘ））

実際に上の式を展開してみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます！！

すみません、よくわからないです＞＜
展開してみたものの、どうしてよいか分かりませんでした・・・