常微分方程式

質問

常微分方程式の問題です

(問)グリーン関数を求めて初期値問題を解け

とのことなんですが、どなたか教えてください..

dy1/dx = -2y1 + 2y2 + 4x + 7
dy2/dx = 3y1 - y2 - 8x - 9
y1(0) = 4, y2(0) = 2

です。

答えは

y1 = 3x + 4, y2 = x + 2

のようなのですが

解き方がわかりません＞＜

途中の過程をお願いします..

回答No.1

eltaliese

自信はないのですが・・・
y1=f ,y2=g と置いときます

与式より
f'=-2f+2g+4x+7
g'=3f-f-8x-9
f"=-2f'+2g'+4
g"=3f'-g'-8

P=f+g　と置くと　P'=f'+g'　,P"=f"+g"なので
上式を足して
P"=P'-4

この微分方程式を解いて　P(0),P'(0)　から積分定数が求められて
P=f+g=4x+6
ここから
g'=4-f' となり、上式のf" に代入すると
f"=-2f'+2(4-f')+4
=-4f'+12

あとは同じように解いて、x=0を代入してと繰り返せば一応答えは一致すると思います。
色々遠回りしてたりしてそうですが、ココが私の限界(´・ω・`)