位相幾何学

質問

図形X,Yが連結で、X∩Y＝φ　でないとき
１．　X∪Yは連結か？
２．　X∩Yは連結か？
という問題なんですけどいくら考えてもわかりません。
ヒントでもかまわないので誰か教えてください。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

失礼ながらどうやらtoratora1さんは「連結」に対するイメージが出来て
いないように思われますね。
もちろん数学はイメージだけでは駄目で論理的な証明が絶対に必要ですが、
イメージが湧くとある命題が成立しそうか否かという見当も付けられますし、
証明方針まで考えられるものです。
位相幾何学のような、一般の集合を扱う分野では特にイメージを持つことは大事です。

連結集合というのはイメージでいえば普通に
「くっついている」「つながっている」「一塊になっている」集合のことです。
つまり普通に平面上に（自分自身と交わらない）閉曲線を書けばその閉曲線で
囲まれた図形は連結です。

連結でない集合というのは「複数のパーツにわかれている」集合です。
上の例と同様に平面上に（自分自身と交わらない、また閉曲線どうしも交わらない）
２つの閉曲線を書けば、その２閉曲線で囲まれた図形は連結ではありません。

もちろんこれはイメージであって細かいことをいえば見た目では「くっついている」
ように見えても実は「連結でない」集合、あるいは逆の例はいくらでも存在しますが。
まずは一般的なイメージを持ちましょう。

で、そういうイメージを持てば御質問の命題が正しいか否かの予想は付くと思います。

答だけ書くと
１.X∪Yは連結。
２.X∩Yは連結とは限らない。
です。
１を示すにはNo.70258の回答と同様に
「X∪Yが連結でないとしたら、XかYか少なくとも１つは連結でないか、もしくはX∩Y＝φである。」
ということを示します。

２については上のイメージで
「X,Yが連結で、X∩Y≠φ　であり、かつX∩Yが連結でない」
ような反例を考えてみましょう。

お礼

いろいろとありがとうございました。
位相を勉強しなかったのにいきなり位相幾何になってしまってついていけなくなってしまったんですよ。
イメージという点ではちょっとはできるんですけど実際、式で証明となるとまったくできなくなってしまったりして・・・・。
（２）の反例としてはX：ｘ＾２＋ｙ＾２＞２、Y：ｘ＝１　とかにしとけばいいんですよね？！