多変数積分(図形の面積）の問題

質問

(x^2+y^2)^2=a^2xy (a>0) の面積を求める問題です．図形の範囲がよく分かりません．
とりあえず変数変換のヒントや図形についてでもいいのでよろしくお願いします．当てられているので非常に困っております。

回答No.3

stomachman

x,y,aは実数、aは定数、x,yは直交座標系をなしている、という意味ですよね。だとすると、
(1) (x^2+y^2)^2＜a^2xy
とでも言うのなら面積も出てきましょうが、この設問では面積は0で良いのでは？

パラメータt≧0を導入して、
(2) t=(x^2+y^2)
(3) t^2=(a^2)xy
と書き換えますと、見通しが良くなります。
tを或る一定値に固定すると、(2)を満たす<x,y>の集合は円周を表している。そして(3)を満たす<x,y>の集合は双曲線です。両者の交点が(1)(2)を共に満たす<x,y>の集合であって、つまり(1)の解。これは（tを決めれば）高々4個の点でしかありません。
tを0～∞の範囲で動かすと、これら高々４点が移動した軌跡が得られる筈です。つまり滑らかな曲線ができる。曲線に面積なんぞありません。ゆえに答は0。

回答No.2

taropoo

Excelを使うと図形がどんな形をしているか分かりますよ。

例えばセルA1からA21に-2から0.2ずつ増やして2まで埋める。
同様にA1からU1にも-2から0.2ずつ増やして2まで埋める。
次にB2に表示したい関数の式をいれます。
x,y以外にも数（定数a)があるのでこの値はまた別のセルに入れておきましょう。
例えばこの場合
A23に適当な値（例えば0）を入れておき、
B2に
=(B$1*B$1 + $A2 * $A2)*(B$1*B$1 + $A2 * $A2) - $A$23*$A$23 * B$1*$A2
と書きこんで、それをコピーし、B2～u21の正方形へ貼り付けます。
そしてこの正方形を選択した状態でメニューバーの[挿入(I)]→[グラフ(H)]と選択し、グラフの中から「等高線」を選びます。
あとはOKを押していれば
z = (x^2+y^2)^2 - a^2xy
のグラフが３Ｄで見られます。

aの値を変えるとグラフも変わって面白いですよ。（a=4辺りなんかお勧め;-)

Excelを持っていらっしゃる事を前提に書いてしまいました。
持っていらっしゃらなかったら只の嫌味ですね。

回答No.1

ametsuchi

x=r*cosθ
y=r*sinθ

とおくと、

r^2 =a^2/2 * sin(2θ)

従って、

r(θ) = sqrt(2)*a * sqrt(sin(2θ)).................Equ.1)

だがら、あとは、θを0から2πまで積分すればいいのでは？