位相幾何学の問題です。

質問

R^3 の2次式で定義される曲面
Σ(i,j=1→3) A_ij Xi Xj = c , X = (x1, x2, x3)
(A_ij) は3次対称行列、c は定数
を等長なものに分類し、さらにはその曲率を求めなさい

という問題なのですが解法がわからずに困っています。

よろしければ解き方を教えていただきませんか？

よろしくお願いします。

回答No.3

grothendieck

あなたの質問をヒントに私が勝手に作った問題に回答します。
「R^3 の2次式で定義される曲面
　　Σ(i,j=1→3) A_ij Xi Xj = c , (A_ij) は3次対称行列、c は定数
を微分幾何学的に等長同型なものに分類しなさい」
Aの固有値をα, β, γ とすると適当な直交変換により
　αX^2 + βY^2 + γZ^2 = c
の形になる。このとき曲率は

　K = αβγc/((αX)^2 + (βY)^2 + (γZ)^2)^2
で与えられる。
http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h11/nishimura.pdf
を参照。実空間内に面ができるものだけをとると、
I　ｃが正のとき
1.α,β,γが三つとも正のとき：楕円面
2.α,βが正,γが負のとき：一葉双曲面
3.αが正,β,γが負のとき：二葉双曲面
4.α,βが正,γが0のとき：楕円柱面
5.α,が正,βが負,γが0のとき：双曲柱面
6.αが正,β,γが0のとき：平行二平面
I　ｃが0のとき
7.α,βが正,γが負のとき：錐面
8.α,が正,βが負,γが0のとき：交差二平面
9.αが正,β,γが0のとき：一平面
二つの面が等長同型のとき曲率は等しい
よって4,5,6,7,8,9はすべて曲率０で局所等長同型である。
曲率が正になるのは１と３．
　しかし１はコンパクトであるのに対し、３は非コンパクトであり、等長同型とは言えない。
曲率が負になるのは２で他のものと等長同型ではない
以上で分類が完成。

回答No.2

grothendieck

さらに言えば、私にはこれは位相幾何学ではなく、微分幾何学に思えて仕方がありません。「等長」とあるので、長さを考えるのでしょう。位相幾何学は長さや曲率ではなく、図形のつながり方や穴の数を考えるものです。長さや曲率を考えるのは通常は微分幾何学です。これがなぜ微分幾何学ではなく、位相幾何学の問題なのかも説明してください。

回答No.1

grothendieck

「等長なものに分類」の意味が不明です。説明をお願いします。