剰余類が互いに素？

質問

「群Gとその部分群Hがあるとき、Hを法とする右剰余類とは、

部分集合 gH ＝{ gh | h∈H}のことである、

また、相異なる右剰余類は互いに素である。」

とあるのですが、「互いに」ということは、

「剰余類が二つ以上存在する」ということですよね。

そのことがうまく飲み込めできません,,,。

「群Gの部分群Hを法とする右剰余類」には、

gH以外にどのようなものがあるのでしょうか？

回答No.2

PRFRD · ベストアンサー

たとえば，G = {a, b, c, ... } ならば aH, bH, cH, ... は全部剰余類です．
もっとちゃんと言うと，aH は「a に関する右剰余類」などと呼ばれます．

その主張で書かれているのは
「a に関する剰余類 aH と b に関する剰余類 bH がイコールでなければ，
　aH と bH は（集合として）互いに素である」
ということです．

補足として No.1 にコメントすると，剰余類の左右は人や教科書によってバラバラで，
現在統一されていません（し，統一される気配すらありません）．
gH を右と呼ぶ流儀は「Hが右にある」剰余類というキモチだそうです．

お礼

具体的に説明していただきありがとうございます。
おかげで疑問が解決しました！

回答No.4

koko_u_u

>とあるのですが、「互いに」ということは、
>
>「剰余類が二つ以上存在する」ということですよね。
そうではありません。

日常用語で「互いに」と言えば登場人物が複数いることを意味しますが、
数学ではそういった制約はありません。

剰余類の集合が「ただひとつ」の要素からなるならば、それは自動的に互いに素です。

お礼

＞剰余類の集合が「ただひとつ」の要素からなるならば、それは自動的に互いに素です。

なるほど
気づきませんでした(＾＾；)
ご指摘ありがとうございます。

回答No.3

arrysthmia

＞「剰余類が二つ以上存在する」ということですよね。
＞ そのことがうまく飲み込めできません,,,。

剰余類と剰余系がゴッチャになっているのでは？
G の各元 g に対して集合 gH が定義できるら、
剰余類は（H = G の場合を除き）二つ以上存在する。

各剰余類を集めた { gH | g∈G } は、H を指定すれば
決まってしまうから、剰余系は { gH } 以外には無い。

お礼

仰るとおり確かに２つを区別できていませんでした(汗)
ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

KI401

ん・・・？左右逆じゃない？

gじゃなくて、g'とか取ればいいだけだよ。
で、相違なる剰余類gH≠g'Hがあったら、それらが互いに素だ、って言ってるわけね。
ただし、g≠g' でも gH = g'H となりうるので注意。

一度簡単な置換群(S_3とか)を例にとって考えてみてはいかがでせう？

お礼

具体的な例で考えてみるとわかりやすかったです(＾＾)
ご指摘ありがとうございます。