代数の質問です

質問

代数の問題がわからなくて困ってます。
どなたか解説お願いします。

R*={a∈R|a≠0}の指数有限の部分群をすべて求めよ。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

Gを、R*の指数nの部分群とします。すると、R*/Gは位数nの群ですから、R*/Gの任意の元をn乗すると1になります。言い換えれば、R*の任意の元をn乗すると、Gに含まれます。したがって、

{x^n|x∈R*}⊂G

です。

一方

nが奇数のとき　{x^n|x∈R*}=R*
nが偶数のとき　{x^n|x∈R*}=「正数全体」

なので、nが奇数にしろ偶数にしろ、Gは、正数全体を含みます。以上から、Gになり得るのは、R*自身か、正数全体の、どちらかしかないことが分かります。

お礼

回答ありがとうございます。
すみません、ちょっとわからないんですけど、
なぜR*/Gが位数nの群だと、R*/Gの任意の元をn乗
が1になるんですか？

回答No.3

ramayana

「なぜR*/Gが位数nの群だと、R*/Gの任意の元をn乗が1になるんですか？」

⇒　一般に、Hを位数がnの有限群とし、xをHの元とするとき、x^n = 1です。これは、群論の基本なので、覚えておきましょう。

次のようにして証明できます。x、x^2、x^3、… と並べていくと、いつかはx^m = 1となるmが出現します（そうでなければ、Hが無限個の元を含むことになり矛盾）。すると、{1,x,x^2,…,x^(m-1)}は、Hの位数がmの部分群ですから、mは、nの約数です。n = kmとすれば、

x^n = x^(km) = (x^m)^k = 1^k = 1

となります。

お礼

なるほど！納得できました！
いろいろとありがとうございました！

回答No.1

ur2c

R は実数で．演算はかけ算かな？ それなら，たとえば正の実数からなる部分群は指数 2．

お礼

回答ありがとうございます。
そうですね。それはなんとなく納得しました！