確率がわからないんです(ToT)

質問

８枚の札があり、
Ａ、Ｂ、Ｃ、……、Ｈと
記されている。

これらを円形に並べるとき
ＡとＢまたはＣとＤが
隣り合う確率は10/21である。

この解説お願いしますm(_ _)m

回答No.1

gtmrk

こんばんは。

円順列については大丈夫ですか？
８つのものを円形に並べる全ての場合の数は、
ある１つの場所を固定して考えればよいので

　(1)　　7! = 5040 通り

となります。

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『A, B が隣り合う場合の数』は、 A, B をひとかたまりと考え、
７つのものを円形に並べる場合の数を考えればよいです。
すなわち

　(2)　　6! = 720 通り

しかし、A, B の左右が入れ替わることがありますから、

　(3)　　720 * 2 = 1440 通り

というのが、A, B が隣り合う場合の数です。
当然、C, D が隣り合う場合の数も同じです。

--------
では、『A, B 【または】 C, D が隣り合う場合の数』はどうでしょうか？
単純な足し算にはなりません。

　(4)　　（A, B が隣り合う場合） + （C, D が隣り合う場合）
　　　　　　　　- （A, B が隣り合い、【かつ】 C, D も隣り合う場合）

というのが正しい考え方です。
（集合で言えば、『和集合』の個数ですね。）
『A, B が隣り合い、【かつ】 C, D も隣り合う場合の数』は
先程と同様に A, B および C, D をひとかたまりと考えれば
６つのものの円順列ですから、

　(5)　　5! * 2 * 2 = 480 通り

です。A, B および C, D の左右の入れ替わりを考慮して 2 を２回かけています。
というわけで、『A, B 【または】 C, D が隣り合う場合の数』は、

　(6)　　1440 + 1440 - 480 = 2400 通り

となりますから、その確率は

　(7)　　2400 / 5040 = 10 / 21

です。