図形と計量

質問

三角形ABCにおいて、AB=3√3,AC=6,cos角BAC=(√3)/3とする。
辺AB上に点DをBD/BC=1/3となるようにとり、三角形BCDの外接円と直線ACとの交点のうちCと異なる方をEとする。
このとき、角CDB=角CEB=90°
である。
さらに、三角形BCEの内接円Iと辺EC、BEの接点をそれぞれH1,H2とし、円Iの半径をrとすると、
CH1=サ-r、BH2=シ(√ス)-r
であり、r=3/2(セ+(√ソ)-(√タ))
である。
直線BEと直線CDの交点をFとし、三角形BCFの外接円の中心をOとする。
外接円Oの半径は(チ√ツ)/テであり、線分OEと円Oの交点をGとすると、
EG=3/4{√(トナ)-ニ√ヌ}である。

この問題の解き方を教えてください。

回答No.1

mizuwa · ベストアンサー

一例です

△ＡＢＣにおいて、
{ＡＢ＝3√3，ＡＣ＝6，cos(∠ＢＡＣ)＝(√3)/3}とする。
辺ＡＢ上に点ＤをＢＤ/ＢＣ＝1/3となるようにとり、
△ＢＣＤの外接円と直線ＡＣとの交点のうちＣと異なる方をＥとする。
このとき、∠ＣＤＢ＝∠ＣＥＢ＝90°である。

さらに、
△ＢＣＥの内接円Ｉと辺ＥＣ，ＢＥの接点をそれぞれＨ1，Ｈ2とし
円の半径をｒとすると、【辺ＢＣと内接円の接点をＨとします】

【四角形ＥＨ2ＩＨ1が正方形なので、ＥＨ1＝ＥＨ2＝rとなり】
【ＣＥ＝3，ＢＥ＝3√2であることから】
★ＣＨ1＝ＣＥ－ＥＨ1＝3－r，ＢＨ2＝ＢＥ－ＥＨ2＝3√2－rであり

【ＣＨ＝ＣＨ1，ＢＨ＝ＢＨ2，ＢＣ＝ＣＨ＋ＢＨ＝3√3で】
【(3－r)＋(3√2－r)＝3√3から】
★r＝(3/2)(1＋√2－√3)である

直線ＢＥと直線ＣＤの交点をＦとし、△ＢＣＦの外接円の中心をＯとする。
【ＢＦ＝3√2/2，ＢＣ＝3√3，sin(∠ＦＢＣ)＝sin(∠ＣＢＥ)＝√6/2で】
【正弦定理を利用し】
★外接円Oの半径は、9√2/4である

線分ＯＥと円Ｏの交点をＧとすると、
【ＯＣ⊥ＡＣ，ＯＣ＝9√2/4，ＥＣ＝3から、ＯＥ＝3√34/4で】
【ＯＧ＝9√2/4から】
★ＥＧ＝{3√34/4}－{9√2/4}＝(3/4)(√34－3√2)

補足【ＯＣ⊥ＡＣについて】
△ＡＢＣはＢＡ＝ＢＣの二等辺三角形で、ＢＥ⊥ＡＣより
∠ＤＢＦ＝∠ＣＢＦ・・・(1)
Ｂ，Ｄ，Ｅ，Ｃは円周上の点で、
∠ＤＢＦ＝∠ＥＣＦ・・・(2)
(1)(2)より、∠ＣＢＦ＝∠ＥＣＦとなり
接弦定理の逆が成り立つので、ＡＣは円Ｏの接線

サ(3)，シ(3)，ス(2)，セ(1)，ソ(2)，タ(3)
チ(9)，ツ(2)，テ(4)，ト(3)，ナ(4)，ニ(3)，ヌ(2)