微分方程式で問題が・・・

質問

大学の微分方程式の講義のレポートが出たのですが、全く分からず途方に暮れています。

問題は2つ。

問1
周囲の温度が２０℃のところで、コーヒーカップに９０℃のコーヒーを入れたら、１０分後には６０℃になっていた。２０分後、３０分後にはそれぞれ何度になっているかを次のニュートンの冷却法則を使って（1）（2）（3）の手順に従って求めよ。
(注)ニュートンの冷却法則：冷却速度は温度差に比例する

（1）微分方程式を立てる。温度T（℃）、時間をtとする。
（2）微分方程式を解く。
（3）初期条件から定数を求める。

問2
（1）宇宙線の照射を受けた上空で放射線同位体炭素14Cが生成され古生物の体内に吸収される。　　古生物が死ぬと、14Cの原素数N(t)の減少速度-dN(t)/dtはN(t)に比例する。
　　崩壊係数をλ、N(0)=N0として、上記の微分方程式を立てて解け。

（2）放射性同位体元素の数が半分になる時間を5760年として、λを求めよ。

（3）１７００年経つと14Ｃｈａ初期に比べて何％に減っているか。

の２問です。
できれば途中式などもよろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

問１
冷却速度ｄＴ／ｄｔが外気温との温度差に比例するので
ｄＴ／ｄｔ＝ｋ（Ｔ－２０）
変数分離して
（１／Ｋ（Ｔ－２０））ｄＴ＝ｄｔ
積分して
ｌｏｇ（Ｔ－２０）／ｋ＋Ｃ＝ｔ　（Ｃは積分定数、ｌｏｇは自然対数）
ｌｏｇ（Ｔ－２０）＝ｋｔ＋Ｃ’　（Ｃ’＝－ｋＣ）
ｔ＝０のときＴ＝９０なので
ｌｏｇ７０＝＋Ｃ’　・・・（１）
ｔ＝１０のときＴ＝６０なので
ｌｏｇ４０＝１０ｋ＋Ｃ’・・・（２）
（１）と（２）を連立させればｋとＣ’が求められます。こうして導いた式にｔ＝２０、３０を代入すれば２０分後、３０分後の温度も計算できます。

問２
N(t)の減少速度-dN(t)/dtはN(t)に比例するので
ーｄＮ（ｔ）／ｄｔ＝λ・Ｎ（ｔ）
とおくと問１と同じ形になります。
微分方程式が解けたら
ｔ＝０のときＮ（ｔ）＝Ｎ０
ｔ＝5760のときＮ（ｔ）＝Ｎ０／２
としてやると係数、積分定数が判ります。ここまでできたら（３）はｔ＝１７００を代入するだけです。