微分方程式
微分可能な関数f(x)が,
∫[0～x]f(t)dt=x^3-3x^2+x+∫[0～x]tf(x-t)dt
をみたしている. このとき, f(x)を求めよ.
与式の左辺をF(x), 右辺をG(x)とおくと,
F(x)=G(x) ⇔ F'(x)=G'(x) かつ F(a)=G(a)となるような定数aが存在するー(※)
F(0)=G(0)=0より, (※) ⇔ F'(x)=G'(x)
h'(x)=f(x), g"(x)=f(x)とすると
∫[0～x]tf(x-t)dt=[-tf(x-t)][0～x]+∫[0～x]F(x-t)dt=-xF(0)-g(0)+g(x)
より,与式の両辺をxで微分すると,
f(x)=3x^2-6x+1+F(x)-F(0)=3x^2-6x+1+∫[0～x]f(t)dtー(1)
再びxで微分して,
f'(x)=6x-6+f(x)
f(x)=yとおくと,
dy/dx=6x-6+y
6x+y=uとおくと, dy/dx=du/dx-6より, du/dx=u
u≠0のとき,
du/u=dx
⇔∫du/u=∫dx
⇔log|u|=x+c (c:積分定数)
⇔u=±e^(x+c)
⇔y=±e^(x+c)-6x
(1)にx=0を代入して,f(0)=1 ⇔ ±e^c=1 ⇔ c=0
∴y=±e^x-6x
また, u=0のとき, y=-6xより,(1)に代入すると,
-6x=3x^2-6x+1-3x^2 ⇔ 0=1となり, いかなるxについてもこれは成り立たず不適.
∴f(x)=±e^x-6x
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