微分方程式

質問

現在会社の都合上下記の式を解いている最中なのですが、どうしても途中の計算過程がわからないので教えていただきたいのですが、
式は

dx/dt=Rinf-kexです。
Rinfとkeは定数とお考えください。
解答はこなってます。
x=Rinf(1-e^-ket)/ke
です。
どなたかわかる方お教え願います。

回答No.2

pascal3141 · ベストアンサー

#1です。
左辺は
∫dx/(R-kx)
=-(1/k)∫dy/y (y=R-kxと置くと、dy=-kdxなので,dx=-(1/k)dyとなり)
=-(1/k)logy （∫dy/y=logy です。）
=-(1/k)log(R-kx)　（元にもどして)

お礼

ありがとうございます！
良くわかりました。

基礎的なことのご丁寧なご回答ありがとうございました。

回答No.1

pascal3141

Rinf=R, ke=Kとして見やすくすると
dx/dt=R-kx
dx/(R-kx)=dt
これを積分すると
(-1/k)log(R-kx)=t+A（Ａは任意の定数）
両辺に-kをかけて
log(R-kx)=-kt+B (ここで-kA=Bとした)
logをはずして
R-kx=e^(-kt+B)
kx=R-e^(-kt+B)=R-RCe^(-kt)=R(1-Ce^(-kt))
　　　　　　(ここでe^B=RCとした）
x=R(1-Ce^(-kt))/k
よって
x=Rinf(1-e^-ket)/ke
Ｃという未定の係数が入っていますが、これは、初期条件を入れると確定しますので、問題にはその条件が抜けているようです。

補足

ご回答ありがとうございます。
一つお聞きしたいのですが、
「dx/(R-kx)=dt
これを積分すると
(-1/k)log(R-kx)=t+A（Ａは任意の定数）」の
左辺(-1/k)log(R-kx)の出し方がいまいちわかりません。
大変基礎的なこととは存じますが、ご回答お願いいたします。