微分方程式のこの問題がわかりません。

質問

微分方程式のこの問題がわかりません。教えてくださるとうれしいです。
途中式を教えていただきたいです。
１、沸騰したお湯を気温１０度の場所に放置しておいたら、４分後に７０度になった。容器中の水の温度の降下速度は周囲の温度との温度差に比例すると考える時、このお湯が６０度になるのは沸騰している状態から何分後か。
答え、t＝４log(5/9)/log(2/3)
=log３分の２分の、４log９分の５

２、実験によれば、多くの放射線物質はその瞬間に存在するその物質量N（t）に比例する速さdN/dtで崩壊する。初期条件N(0)=N0、ラジウム^226×Raの半減期を１６００年として、ラジウムは１００年間で何％消滅するか。
答え、N=N0exp[-(log2/1600)t],4.2%

とても難しく、ちんぷんかんぷんで困っています。
ぜひ、教えていただきたいです。お願いします。

回答No.2

gohtraw

（１）温度をT、時間をｔで表すと、温度の降下速度はｄＴ／ｄｔであり、これが外気温との差に比例するので、
ｄＴ／ｄｔ＝ｋ（Ｔ－１０）
変数分離して
ｄＴ／（Ｔ－１０）＝ｋ・ｄｔ
積分して
ｌｎ（Ｔ－１０）＝ｋｔ＋Ｃ　（Ｃは積分定数）
ｔ＝０分のときＴ＝１００なので、
ｌｎ（９０）＝Ｃ
また、ｔ＝４分のときＴ＝７０なので、
ｌｎ（６０）＝４ｋ＋ｌｎ（９０）
４ｋ＝ｌｎ（６０）－ｌｎ（９０）
　　＝ｌｎ（２／３）
ｋ＝ｌｎ（２／３）／４
これで微分方程式が解けました。次にＴ＝６０を代入すると
ｌｎ（５０）＝ｔ・ｌｎ（２／３）／４＋ｌｎ（９０）
ｔ・ｌｎ（２／３）／４＝ｌｎ（５０）－ｌｎ（９０）＝ｌｎ（５／９）
よって
ｔ＝４ｌｎ（５／９）／ｌｎ（２／３）

（２）ｄＮ／ｄｔがＮ（ｔ）に比例するので
ｄＮ／ｄｔ＝ｋ・Ｎ（ｔ）
ｄＮ／Ｎ（ｔ）＝ｋ・ｄｔ
ｌｎ（Ｎ（ｔ））＝ｋｔ＋Ｃ　（Ｃは積分定数）
ｔ＝０のときＮ（ｔ）＝Ｎ０なので
ｌｎ（Ｎ０）＝Ｃ
また、ｔ＝１６００のときＮ（ｔ）＝Ｎ０／２なので
ｌｎ（Ｎ０／２）＝１６００ｋ＋ｌｎ（Ｎ０）
１６００ｋ＝ｌｎ（Ｎ０／２）－ｌｎ（Ｎ０）＝ｌｎ（１／２）＝－ｌｎ（２）
よって
ｋ＝ーｌｎ（２）／１６００
これで微分方程式が解けました。次にｔ＝１００とすると
ｌｎ（Ｎ（１００））＝－１００・ｌｎ（２）／１６００＋ｌｎ（Ｎ０）
ｌｎ（Ｎ（１００））－ｌｎ（Ｎ０）＝－ｌｎ（２）／１６
ｌｎ（Ｎ（１００）／Ｎ０）＝－ｌｎ（２）／１６
よってＮ（１００）／Ｎ０＝０．９５７６

回答No.1

noname#146604

l)
ln70 = -4k + ln100
k = 0.089168736
ln60 = 0.089168736t + ln100
t = 5.7 min

2)
(1-(1/2)^(100/1600))*100 = 4.2％