3次以上の固有方程式

質問

3次以上の行列の固有値を求めたいのですが、通常(?)は固有方程式の行列式を変形していってλを含む成分でくくったり、三角行列にするなどして簡単に求められるようにすると思います。
が、うまく変形が思いつかないことも少なくありません。

変形せずに行列式を展開したとしてもその後の因数分解がなかなか出来ずに詰まってしまいます。

何かよい方法はありますか？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

3次なら
A(λ^3)+Bλ+C=0
という3次方程式を解くのと同じこと。どんな3次方程式でも変数変換(チルンハウス変換)で2次の係数を0に出来ますから、一般の３次方程式と同等の問題であり、その一般解法は、すなわちカルダノの公式ってことになります。かなり手間が掛かるんで大変です。
4次となるとフェラーリの公式ですか。もっと大変。
なので、大抵の練習問題はうまいこと因数分解できるように作ってあるのでしょう。実務ではもちろんそうは行きませんで、大抵数値計算ですが。
ともあれ、解(固有値)vをなんとかひとつみつければ、(λ-v)で割る事で次数が一つ下げられますから、グラフを描くとかして、あてずっぽで解を探してみるのも手かも。

お礼

そう言えば大学の教養レベルの固有値問題だと、固有ベクトルを簡単に求められるように固有値は殆ど簡単な整数になってますね。
4次ぐらいなら時間と根性さえあれば適当な値を１つ１つ潰していけば求まりそうですね。

回答ありがとうございました。

回答No.3

FT56F001

整数係数の3次または4次などの高次方程式で，とにかく因数分解したい，パソコンは使ってよい，
という問題のとき，私は次のようにしています。
(1) エクセルを立ち上げて，関数値を数値として計算できる表を作る。
(2) 解としてありそうな整数値の範囲を設定し(例えば-10から+10)，0になる点，あるいは符号が変る点を数値として探す。
(3) 整数解が見つかれば，それで終わり。整数値と整数値の間(例えば3と4の間)で符号が変る点があれば，エクセルのゴールシークで精密に数値解を探す。
(4) 数値解が係数の因数分解から想定される分数にならないか確認。

試行錯誤的に方程式の解を探してもよいのですが，パソコン(エクセル)で数値解を出すことで，その手伝いをさせる，という発想です。きれいな因数分解(有理数の範囲など)が出来ないとしても，とにかく数値的には実数解が求まるので，数値的に多項式の係数を割り算して，低い次数の方程式へ持っていくことは出来ます。

お礼

なるほど、手計算しか出来ない環境なのですが、あらかじめ適当な解を決めてf(x)=0を満たすことを確認したら、それを因数にして割って見るというのは使えそうです。

回答ありがとうございました。

回答No.1

FT56F001

どういう問題なのか分かりませんが，数式の形のままで行列式や固有値を求めることは，一般には難しいと思います。例えば，対角線付近だけの帯行列，対称性が高い行列，対角行列に微小摂動が加わった場合の漸近的近似値など，「幸運な場合に，その特長を生かして，何とか数式で表せる(?)」という程度でしょう。数式処理ソフトを使うと，10次くらいまで行列式は展開できますが，膨大な数式が吐き出されるだけで，何も見えてこないことが多いです(使い方が下手なだけかもしれませんが)。

一般的には，行列を数値で表して計算機で力任せに数値計算する，という手しかない，と思います。

お礼

回答ありがとうございます。

申し訳ありません、書き忘れてましたが大学の１,2年生で習うレベルの線形代数です。
次数は多くても4次、固有方程式も|A-λE|=0でAは実数の行列です。
なので折角ご回答いただいたのですが、想定していたレベルを超えてしまっていると思いました。
本当に申し訳ありません。

特定の問題が解けないわけではなく、この手の問題全般で|A-λE|=0を解くのに苦戦してしまいます。