次に与える行列Aの特性方程式，固有値，固有ベクトルを求めよ。また，それ

質問

次に与える行列Aの特性方程式，固有値，固有ベクトルを求めよ。また，それを用いて，Ｐ^(-1)ＡＰ=Ｄ（対角行列）となる行列Ｐ，Ｄを求めよ。(1)Ａ=（[3,1]，[2,2]），(2)Ａ=([4,2][3,1])，(3)=([3,-5],[2,-3])，(4)Ａ=([0,0,1],[0,1,0],[1,0,0])

上記の問題教えてください。一応，特性方程式と，固有値，固有ベクトルを求めることがやってみたのですが，特に(4)番が自信がないので，この３つについては，答え合わせをしたいので，答えを教えてもらえたらと思います。
また，Ｐ，Ｄを求めるのはやり方が分からないので詳細を教えていただきたいのです。よろしくお願いします。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#1-#3です。

A#3の補足質問の回答

>ありがとうございます。行と列が難しいので，たとえば，（４）だったら，固有ベクトルは，横に３つ並ぶということですか？
そうです。
これを（1行3列の）行ベクトルに対応させます。
この行ベクトルの転置を取れば（3行1列の）列ベクトルになります。

回答No.3

info22_

#1,#2です。

A#2の補足の質問
> (2)Ａ=([4,2][3,-1])
なら
>(2）t=-2に対する固有ベクトル(1,-3),t=5に対する固有ベクトル(1,1/2)
で合っています。

>(1),(2),(3)の固有ベクトルは２ｘ１で合っているか？
ベクトルは成分を並べたセットに過ぎませんので通常は行ベクトルで表します。
列ベクトルで言うなら合っています。
行ベクトルで言うなら１ｘ２（1行2列）です。

補足

ありがとうございます。行と列が難しいので，たとえば，（４）だったら，固有ベクトルは，横に３つ並ぶということですか？

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足の質問について

(1)
>固有値が-4になったのですが，
>固有値が-4になったのですが，
-4は間違い
計算が書いてないのでチェックできません。
特性方程式の導出計算を再度チェックしてみてください。

(2)
計算しなおして答え合わせをする。

(3)
>これも，固有ベクトルが間違っているみたいです。
固有ベクトルのすべての要素を定数倍も正解です(要素が簡単になるように定数倍を選ぶ)。

(4)
>固有ベクトルって3×1でよいのでしょうか？
1行3列の行ベクトルです。
>t=1に対するベクトルは２つあると言うことですよね。
そうです（固有値が重解の場合）。

>それと，Ｐ，Ｄはどうやって，導き出したらよいのでしょうか？
固有ベクトルと固有行列、行列の対角化で検索してみて下さい。参考書でも行列の対角化が載っている所を調べる。
（参考URL）
http://www.riruraru.com/cfv21/math/diagonalize.htm
http://next1.msi.sk.shibaura-it.ac.jp/MULTIMEDIA/linearalg02/node16.html

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/05unitr/040unt.html

補足

ありがとうございます。参考をみてみます。
すいません，（２）の式が間違っていました。Ａ＝([4,2]，[3,-1])です。
そうすると，答えは合っていますか？
(1)（２）（３）の固有ベクトルは，2行×１ですか？

回答No.1

info22_

質問者さんの解答を補足に書いてください。その中で分からない箇所を質問してください。

(1)
特性方程式(t-1)(t-4)=0,固有値t=1,4,
固有ベクトル
t=1に対する固有ベクトル(1,-2),t=4に対する固有ベクトル(1,1)
P=([1,1],[-2,1]),D=([1,0],[0,4])

(2)
特性方程式 t^2-5t-2=0,固有値t=(5±√33)/2,
固有ベクトル
t=(5-√33)/2に対する固有ベクトル(4,-3-√33),
t=(5+√33)/2に対する固有ベクトル(4,-3+√33)
P=([4,4],[-3-√33,-3+√33]),D=([(5-√33)/2,0],[0,(5+√33)/2])

(3)
特性方程式 t^2+1=0,固有値t=±i,
固有ベクトル
t=-iに対する固有ベクトル(5,3+i),
t=iに対する固有ベクトル(5,3-i)
P=([5,5],[3+i,3-i]),D=([-i,0],[0,i])

(4)
特性方程式 (t+1)(t-1)^2=0,固有値t=-1,1(重解),
固有ベクトル
t=-1に対する固有ベクトル(1,0,-1),
t=1に対する固有ベクトル(1,0,1),(0,1,0)
P=([1,1,0],[0,0,1],[-1,1,0]),D=([-1,0,0],[0,1,0],[0,0,1])

＃ああ計算と入力がしんどかった。

なぜそうなるかは教科書や参考書やネットで自分で調べて下さい。

補足

ありがとうございます。
やっばり，いくつか間違っていたようです。
（１）t=1に対する固有ベクトル(1,-2),t=-4に対する固有ベクトル(1,1)
　固有値が-4になったのですが，
（２）t=-2に対する固有ベクトル(1,-3),t=5に対する固有ベクトル(1,1/2)
　これは全く違ったみたいです。
（3）t=-iに対する固有ベクトル(1,3+i/5),
t=iに対する固有ベクトル(1,-i-3/5)
これも，固有ベクトルが間違っているみたいです。
(4)t=-1に対する固有ベクトル(1,0,-1),
t=1に対する固有ベクトル(1,0,1),(0,1,0)
これは，同じでした。固有ベクトルって3×1でよいのでしょうか？
t=1に対するベクトルは２つあると言うことですよね。
ここまで，もう一度，見直してみます。
それと，Ｐ，Ｄはどうやって，導き出したらよいのでしょうか？
やり方を教えてもらえませんか？お願いします。