固有方程式

質問

２，３次の行列の固有方程式はサルスの方法で簡単に求められると思うのですが、４次の場合はどうしたらいいのでしょうか？？
今、対称行列（対角成分は１）の４次の行列の固有方程式を求めたいのですが、うまくできません。

回答No.4

keyguy · ベストアンサー

1例
|abcd|
|efgh|
|pqrs|
|tuvw|
=
|fgh|a
|qrs|
|uvw|
-
|bcd|e
|qrs|
|uvw|
+
|bcd|p
|fgh|
|uvw|
-
|bcd|t
|fgh|
|qrs|

回答No.5

grothendieck

hektyoさん、こんにちは。対称行列なのでヤコビ法により対角化を試みても良いでしょう。ヤコビ法については数値計算のどの本にでも載っているので省略します。ただしヤコビ法では一般に有限回では対角化されません。ここでは次数の大きい行列の固有方程式を求めるためのクリロフ法を紹介しましょう。これは元の固有方程式の未知数を一つの列にまとめるものです。
x1…xnをtの関数とするとき定数係数一階線形微分方程式
　x1' = a11x1 + a12x2 +…+ a1nxn
　x2' = a21x1 + a22x2 +…+ a2nxn
　　…………………………………
　xn' = an1x1 + an2x2 +…+ annxn
を解く時にも固有方程式を解く必要があることはよく知られています。α01…α0n を任意に選んだ係数として
　ξ = α01x1 + α02x2 +…+ α0nxn　…(1)
とおき、x1…xnについての一階連立方程式をξについてのn階微分方程式に直すことを考えます。(1)を微分してx1'…xn'に上の式を使うと
　ξ' = α11x1 + α12x2 +…+ α1nxn
という形の式が得られます。これをくりかえして、ξ…ξ(n)についての連立方程式
　ξ = α01x1 + α02x2 +…+ α0nxn
　ξ' = α11x1 + α12x2 +…+ α1nxn
　　…………………………………
　ξ(n) = αn1x1 + αn2x2 +…+ αnnxn
が得られます(ξ(n)はξのn階導関数)。これが0でない解を持つという条件から
　|ξ α01 α02　… α0n |
　|ξ' α11 α12　… α1n |
　|　………………………　 |
　|ξ(n) αn1 αn2　…αnn|
　= 0　　　　　　　　　　　　　　…(2)
となります。この方程式の解でξ=exp(λt)の形を仮定して(2)に代入するとλについての決定方程式
　|λ　 α01 α02　… α0n |
　|λ^2 α11 α12　… α1n |
　|　………………………　　 |
　|λ^n αn1 αn2　… αnn |
　= 0
が得られます。このλは元の固有方程式のλと一致しています。これがクリロフの方法です。

回答No.3

KENZOU

4次以上の行列式の展開はrrc147さんが言われているとおり、余因子を使って行列の次数を落として計算するやり方が一般的と思います。
そこで具体的にはどうするの？となるわけですが、ここを覗かれてはいかがでしょうか。
　　　　　　　↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=427687
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=592134

回答No.2

2718281828

固有値ではなく、固有方程式ですね。
固有方程式は、ある行列の行列式が0になる det(A)=0 という形で与えられます。単に行列式の求め方を質問しているということでよろしいでしょうか？

参考URL：

http://ysserve.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/linear/node20.html

回答No.1

rrc147

余因子を使う方法はどうですか？
大学の教養で使うような線形代数の本にも
載ってますので、そんなに難しい方法じゃ
ないと思います。調べてみてください。

参考URL：

http://www.matsusaka-u.ac.jp/~aihara/pukiwiki2/index.php?%B9%D4%CE%F3%BC%B0