線形数学の固有値と固有ベクトルの問題

質問

行列の固有値と固有ベクトルを求めよ、という問題で分からなくなりました。

　２　１
－１　２

これを

ｘ－２　－１
１　　　ｘ－２

それからサラスの公式を使い、
（ｘ－２）（ｘ－２）＋１＝ｘ~２－４ｘ＋５
となりました。
この先は因数分解すると思うのですが、因数分解ができません。
このような場合、どうすればよろしいのでしょうか？
計算のやり方が間違っているかもしれませんが、回答よろしくおねがいします。

回答No.2

mgsinx · ベストアンサー

固有値は複素数にもなり得ます。
解の公式や平方完成などを使って固有値を求めてください。
今回の例の場合、固有値は実数にはなり得ません。

お礼

複素数にもなるのですね！
複素数としてこの先を考えてやってみたらきちんとできました。
ありがとうございました。

回答No.3

YHU00444

そもそもこれって回転行列の定数倍という形になってますから、2次元の空間上では、どう頑張ってもても「方向を変えず、大きさのみを変える」変換にはならないわけです。
だから、この場合の固有値や固有ベクトルは複素数まで範囲を広げて（複素ベクトル空間C2上で）考えてやらないといけない。

※実際、回転行列R(θ)の固有値はλ=cosθ±isinθですが（対応する固有ベクトルはそれぞれ(i,1),(1,i)）、考えてもみれば、そもそも回転を表す行列に「方向を変えない」変換自体が存在するわけがないのですから、複素数の固有値が掛かるのはむしろ当然ともいえます（複素数なら偏角の分だけ回転させることができるのでうまくいく）。

お礼

そういうわけだったのですね。
複素数まで広げてきちんと考えてやってみましたら、答えに辿りつけました！
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

あらゆる 2次式が因数分解できるほど, 世の中甘くはないです.

お礼

はい、心得ておきます！